Derivata - Cylindrisk plåtburk

Börja med att rita en bild och lägg upp den här.

Skall du använda en plåt vars area är 6 dm²  (så att det blir en del spill när man gör burken) eller skall burkens totala area vara 6 dm²?

Standardmetod för denna typ av problem är följande:

1. Rita en figur, välj och markera i figuren lämpliga obekanta storheter. I det här fallet radie och höjd.
2. Formulera med hjälp av de obekanta storheterna en målfunktion, vars värde du vill maximera. I det här fallet cylinderns volym.
3. Formulera ett samband mellan de obekanta storheterna med hjälp av information som är given i uppgiften. I det här fallet burkens area.
4. Lös ut en av de obekanta storheterna ur ovanstående samband och ersätt den i målfunktionen. Målfunktionen ska nu endast bero av en obekant storhet.
5. Maximera sökfunktionen genom att derivera den och sätta derivatan lika med 0.
6. Målfunktionens maxvärde återfinns vid någon av derivatans nollställen (eller i vissa fall vid någon av definitionsmängdens randpunkter).

Kommer du vidare då?

Visa dina försök och fråga när du kör fast.

Fattar inte. Ritade upp en cylinder med radien x cm och höjden h cm. x+h =6. h = 6 - x. Cylinderns volym är V= $\mathrm{\pi }$x²h. Sen kommer jag inte vidare om det ens är rätt?

santas_little_helper skrev:

Fattar inte. Ritade upp en cylinder med radien x cm och höjden h cm. x+h =6. h = 6 - x. Cylinderns volym är V= $\mathrm{\pi }$x²h. Sen kommer jag inte vidare om det ens är rätt?

x+h kan inte bli en area. Det har fel enhet. 

Hur stort är locket? 

A=2$\mathrm{\pi }$rh är för arean. Förstår inte

Du behöver ett lock, en botten och en rektangulär bit som man kan rulla ihop till mantelytan. Du har tagit fram ett uttryck för arean av mantelytan. Hur stor area har locket? Botten har lika stor area. Hur stor är den totala arean?

locket och botten måste väl ha då πx^2 . Då plussar man väl ihop de två o man skriver x istället för r va?

Så 2$\mathrm{\pi }$xh + 2${\mathrm{\pi x}}^2$ = 6. Alltså summan av areorna.

Då har du fått fram ett uttryck som säger att den sammanlagda arean för burken är 6 (dm²) - bra, det kommer du att behöva. Gå tillbaka till uppgiften. Vad är det man frågar efter?

Maxvolymen. Ingen aning hur man räknar det härifrån. Hur ska man tänka?

Hur räknar man ut volymen för en cylinder med radien r och höjden h?

santas_little_helper skrev:

Maxvolymen. Ingen aning hur man räknar det härifrån. Hur ska man tänka?

Följ mina tips 1-6.

Du har redan gjort steg 1 och 3.

Steg 2 - Uttryck cylinderns volym med hjälp av x och h. Om du inte kommer ihåg den formeln utantill kan du titta här. Visa ditt försök.

Fortsätt sen med steg 4, 5 och 6.

V_cylinder =πr2h =  ${\mathrm{\pi x}}^2$ + $\mathrm{\pi h}$

Nånting sånt. Vet inte.

Ska det behöva vara såhär krångligt?

Nej, det du har skrivit är inte volymen för en cylinder med radien r och höjden h. Hur skall formeln se ut?

Vad är det du tycker är svårt? Det gäller att man förstår vad man läser och att man arbetar systematiskt, som Yngve har beskrivit.

santas_little_helper skrev:

V_cylinder =πr2h =  ${\mathrm{\pi x}}^2$ + $\mathrm{\pi h}$

Nånting sånt. Vet inte.

Ska det behöva vara såhär krångligt?

Du har rätt i att en cylinder med radien $r$ och höjden $h$ har volymen $V=\pi r^2h$, dvs "pi gånger (radien i kvadrat) gånger höjden".

Din cylindern har radie $x$ och höjd $h$.

Vad blir då "radien i kvadrat"?

Yngve skrev:

santas_little_helper skrev:

V_cylinder =πr2h =  ${\mathrm{\pi x}}^2$ + $\mathrm{\pi h}$

Nånting sånt. Vet inte.

Ska det behöva vara såhär krångligt?

Du har rätt i att en cylinder med radien $r$ och höjden $h$ har volymen $V=\pi r^2h$, dvs "pi gånger (radien i kvadrat) gånger höjden".

Din cylindern har radie $x$ och höjd $h$.

Vad blir då "radien i kvadrat"?

Det är den här biten jag har svårt med. Hur man ska få till uträkningen korrekt

santas_little_helper skrev:

Det är den här biten jag har svårt med. Hur man ska få till uträkningen korrekt

Du försöker ta för stora kliv och då känns allt övermäktigt. Ta istället små små tomtesteg, ett i taget. Vi hjälper dig att steg föt steg bygga ihop uttrycket för volymen. Följ bara med och svara på frågorna, en i taget.

Du vet att volymen kan skrivas "pi * (radie i kvadrat) * höjd".

Pi: Pi vet du vad det är.

Radie: Om du hade kallat radien för $r$ så hade "radie i kvadrat" skrivits $r^2$, är du med på det?

Men nu har du kallat din radie för x. Hur kan du då skriva "radie i kvadrat"?

x²

Bra.

Kan du då även skriva hela uttrycket "pi gånger (radien i kvadrat) gånger höjden" med hjälp av dina valda symboler?

πx2  + $\mathrm{\pi }$x²h?

x² + xh?

santas_little_helper skrev:

πx2  + $\mathrm{\pi }$x²h?

x² + xh?

Jag förstår inte varför du krånglar till det. Det är mycket mycket enklare än du tror.

Om radien kallas $r$ så kan volymen skrivas $V=\pi r^2h$. Är du med på det?

Om radien kallas $x$ så kan volymen skrivas $V=\pi x^2h$. Är du med på det?

--------------------

Jag förstår inte cad du skriver:

Varifrån kommer den första termen $\pi x2$ i ditt svar?

Och vad betyder andra raden $x^2+xh$ över huvud taget?

Vet inte. Bara allmänt förvirrad . Varför ska man kalla radien för r och x?

Om radien kallas r så kan volymen skrivas V=πr²h.

Om radien kallas x

så kan volymen skrivas V=πx²h.

Det är jag med på. Vad är nästa steg?

Radien ska inte kallas för $r$ och $x$. Den ska kallas för $r$ eller $x$.

I formeln för en cylinderns volym kallas radien för $r$. Det är en väldigt vanlig beteckning på en radie. Du har kallat radien för $x$, vilket går lika bra det, men då måste du ju skriva om formeln så att den använder $x$ istället för $r$. Nu har vi gjort det, så nu kan vi gå vidare.

Nu har du gjort steg 1, 2 och 3 i den >> lista << som jag har gjort iordning åt dig. Fortsätt nu med steg 4, 5 och 6.

Yngve skrev:

Radien ska inte kallas för $r$ och $x$. Den ska kallas för $r$ eller $x$.

I formeln för en cylinderns volym kallas radien för $r$. Det är en väldigt vanlig beteckning på en radie. Du har kallat radien för $x$, vilket går lika bra det, men då måste du ju skriva om formeln så att den använder $x$ istället för $r$. Nu har vi gjort det, så nu kan vi gå vidare.

Nu har du gjort steg 1, 2 och 3 i den >> lista << som jag har gjort iordning åt dig. Fortsätt nu med steg 4, 5 och 6.

Lös ut av en storheterna. i vad?

santas_little_helper skrev:

Lös ut av en storheterna. i vad?

Ur punkt 4: "Lös ur en av storheterna ur ovanstående samband.", dvs sambandet som beskrivs i ovanstående punkt, dvs i punkt 3, dvs sambandet mellan burkens area och de obekanta storheterna $x$ och $h$, dvs sambandet $2\pi xh+2\pi x^2=6$.

Välj själv om du vill lösa ut $x$ eller $h$.

Tycker det låter jätterörigt.

h= -2$\mathrm{\pi }$x² +6 / 2$\mathrm{\pi }$x

eller?

santas_little_helper skrev:

Tycker det låter jätterörigt.

h= -2$\mathrm{\pi }$x² +6 / 2$\mathrm{\pi }$x

eller?

Om du menar $h=\frac{-2\pi x^2+6}{2\pi x}$ så är det rätt, men då bör du skriva $h=(-2\pi x^2+6)/2\pi x$ så att det tydligt framgår att täljaren består av två termer.

Du kan förenkla uttrycket lite genom att dela upp det i två termer så här: $h=\frac{3}{\pi x}-x$.