22 svar
1129 visningar
Linn behöver inte mer hjälp
Linn 77 – Fd. Medlem
Postad: 20 dec 2018 18:43 Redigerad: 20 dec 2018 18:48

Förändringshastighet cirkulär kon

Hej! 

Jag har inte riktigt greppat hur jag räknar förändringshastigheter och det blev ännu svårare när jag fick denna uppgift: 

En cirkulär kon har toppvinkeln 60°. Från början är konen fylld med vatten, som sedan minskar med hastigheten 2 liter/min. Bestäm dh/dt, dvs hur snabbt vattendjupet sjunker då h=8 dm. 

Jag tänker att jag först måste få fram en radie, för att sedan kunna få fram konens volym, derivera volym-funktionen och sedan multiplicera derivatan av volymen med förändringshastigheten. Tänker jag rätt? Och hur får jag till att börja med fram radien?

AlvinB 4014
Postad: 20 dec 2018 18:48

Vad undrar du?

'Derivata cirkulär kon' säger mig mycket lite.

Linn 77 – Fd. Medlem
Postad: 20 dec 2018 18:49

Skärmen hakade upp sig innan jag hann skriva klart 😏

AlvinB 4014
Postad: 20 dec 2018 19:02

Okej, då blev det mycket mer begripligt. :-)

Det centrala i denna uppgift är kedjeregeln. Du skall nämligen ställa upp följande samband:

dVdt=dVdh·dhdt\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{dV}{dh}\cdot\dfrac{dh}{dt}

så att du kan lösa ut för dh/dtdh/dt. För att göra detta måste vi ta fram dV/dhdV/dh. Då behöver vi ett uttryck för konens volym i hh. Du kommer säkert ihåg formeln:

V=hπr23V=\dfrac{h\pi r^2}{3}

för en cirkulär kon. Vi behöver uttrycka rr i hh, vilket vi kan göra med genom toppvinkeln 60°60^{\circ}. Kommer du på hur?

Ett tips är att leta efter en triangel som du kan använda trigonometri på.

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 20 dec 2018 19:03

Standardfråga 1a: Har du ritat?

Linn 77 – Fd. Medlem
Postad: 20 dec 2018 19:05

Det finns en bild i boken Smaragdalena. Men jag har inte ritat något själv

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 20 dec 2018 19:08
Linn skrev:

Det finns en bild i boken Smaragdalena. Men jag har inte ritat något själv

 Om det finns en bild, så tycker jag inte att du behöver rita en till bara för sakens skull. Så mycket fundamentalist är jag inte. (Men det framgick inte av frågan att det redan fanns en bild.)

Linn 77 – Fd. Medlem
Postad: 20 dec 2018 19:09

Ja vad gäller triangeln: jag har ju två trianglar i konen varav den ena har en vinkel som är 30°, en 90° och en 60°. Men jag kan ju varken använda cosinus- eller sinussatsen eftersom jag inte har någon sida? Och inte pythagoras heller?

AlvinB 4014
Postad: 20 dec 2018 19:13

Du behöver inte känna till längden på en sida eftersom vårt mål inte är att räkna ut längden på en sida, utan att få ett samband mellan rr och hh. Kan du få fram ett samband så att r=r= något med hh?

Linn 77 – Fd. Medlem
Postad: 20 dec 2018 19:16

Jaa kanske r/60=h/30? 

h=0,5r

AlvinB 4014
Postad: 20 dec 2018 19:17

Nej, försök med ett trigonometrisk samband. Vad sägs om att ta tangens i 30°-90°-60°-triangeln?

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 20 dec 2018 19:19

Vilken radie har konens (uppåtvända) basyta, när höjden är hh?

Linn 77 – Fd. Medlem
Postad: 20 dec 2018 19:22

Om jag tar tangens får jag detta samband: 

r/h=tan90° 

rtan^-1(90)=h

h=89.36r

Linn 77 – Fd. Medlem
Postad: 20 dec 2018 19:23

Är jag fortfarande ute o cyklar? 

Känner mig väldigt osäker. 

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 20 dec 2018 19:27

Kan du lägga in bilden du talade om här? Det står i uppgiften att toppvinkeln är 60°60^\circ. Vilken är vinkeln mellan höjden och hypotenusan?

Linn 77 – Fd. Medlem
Postad: 20 dec 2018 19:30 Redigerad: 20 dec 2018 19:30

Vinkeln mellan höjd och hypotenusa är 30°

Tyvärr jag är digitalt nollad, får aldrig in bilder på detta forum..

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 20 dec 2018 19:33

Om höjden är hh, hur lång är då radien? Hur lång är hypotenusan? (Jag tror inte du behöver den, men bara så att du vet vad som är vad...)

Linn 77 – Fd. Medlem
Postad: 20 dec 2018 19:40

Det står still. Tror att jag ska vila från denna uppgift en stund och återkomma 

AlvinB 4014
Postad: 21 dec 2018 10:16

Jag antar att bilden i din bok ser ut ungefär så här:

Vad får du om du tar tangens av den översta vinkeln i denna triangel?

Linn 77 – Fd. Medlem
Postad: 21 dec 2018 10:35 Redigerad: 21 dec 2018 10:36

r/h=tan30

h=1/(3^(1/2))r

AlvinB 4014
Postad: 21 dec 2018 10:44

Nästan.

Det första är rätt, nämligen att:

rh=tan30°\dfrac{r}{h}=\tan\left(30^{\circ}\right)

vilket kan förenklas till:

rh=13\dfrac{r}{h}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}

Multipliceras därefter båda led med hh får vi:

r=h3r=\dfrac{h}{\sqrt{3}}

Detta är sambandet vi eftersöker. Vad får du om du sätter in det i det jag beskrev i mitt första inlägg?

Laguna 30251
Postad: 21 dec 2018 10:46
Linn skrev:

Vinkeln mellan höjd och hypotenusa är 30°

Tyvärr jag är digitalt nollad, får aldrig in bilder på detta forum..

Vi hjälper dig gärna med det. Det är ju synd om det inte går. Hur långt har du kommit förut? Nu när jag skriver det här har jag en rad med symboler en bit upp. Längst till höger är ett rottecken och bredvid det är en liten tavla med ett berg och en sol. Trycker man på den ska det dyka upp ett nytt fönster där man kan välja en bild.

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 21 dec 2018 10:49

Ja, h=3·rh=\sqrt3\cdot r.

Du har uppgiften att bestämma hur snabbt vattendjupet sjunker i det ögonblicket när konens höjd är 8 dm när du vet att vattnet rinner ut med hastigheten 2 liter/minut. (En liter är samma sak som en kubikdecimeter, så det är vettigt att använda enheten dm så får vi enkla siffror att jobba med.) Eftersom du är intresserav av vattendjupet och vattendjupets förändring, är det smart att uttrycka konens volym som en funktion av höjden hh. (Man hade säkert kunnat konstruera en uppgift där det intressanta beror på radien rr, en så är det inte i den här uppgiften.)

Hur stor volym har konen, när höjden är hh? Eftersom du vet att h=3·rh=\sqrt3\cdot r kan du uttrycka konens volym som en funktion av bara en variabel, hh.

Svara
Close