Förändringshastighet cirkulär kon

Vad undrar du?

'Derivata cirkulär kon' säger mig mycket lite.

Skärmen hakade upp sig innan jag hann skriva klart 😏

Okej, då blev det mycket mer begripligt. :-)

Det centrala i denna uppgift är kedjeregeln. Du skall nämligen ställa upp följande samband:

$\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{dV}{dh}\cdot\dfrac{dh}{dt}$

så att du kan lösa ut för $dh/dt$. För att göra detta måste vi ta fram $dV/dh$. Då behöver vi ett uttryck för konens volym i $h$. Du kommer säkert ihåg formeln:

$V=\dfrac{h\pi r^2}{3}$

för en cirkulär kon. Vi behöver uttrycka $r$ i $h$, vilket vi kan göra med genom toppvinkeln $60^{\circ}$. Kommer du på hur?

Ett tips är att leta efter en triangel som du kan använda trigonometri på.

Standardfråga 1a: Har du ritat?

Det finns en bild i boken Smaragdalena. Men jag har inte ritat något själv

Linn skrev:

Det finns en bild i boken Smaragdalena. Men jag har inte ritat något själv

 Om det finns en bild, så tycker jag inte att du behöver rita en till bara för sakens skull. Så mycket fundamentalist är jag inte. (Men det framgick inte av frågan att det redan fanns en bild.)

Ja vad gäller triangeln: jag har ju två trianglar i konen varav den ena har en vinkel som är 30°, en 90° och en 60°. Men jag kan ju varken använda cosinus- eller sinussatsen eftersom jag inte har någon sida? Och inte pythagoras heller?

Du behöver inte känna till längden på en sida eftersom vårt mål inte är att räkna ut längden på en sida, utan att få ett samband mellan $r$ och $h$. Kan du få fram ett samband så att $r=$ något med $h$?

Jaa kanske r/60=h/30? 

h=0,5r

Nej, försök med ett trigonometrisk samband. Vad sägs om att ta tangens i 30°-90°-60°-triangeln?

Vilken radie har konens (uppåtvända) basyta, när höjden är $h$?

Om jag tar tangens får jag detta samband: 

r/h=tan90° 

rtan^-1(90)=h

h=89.36r

Är jag fortfarande ute o cyklar? 

Känner mig väldigt osäker. 

Kan du lägga in bilden du talade om här? Det står i uppgiften att toppvinkeln är $60^\circ$. Vilken är vinkeln mellan höjden och hypotenusan?

Vinkeln mellan höjd och hypotenusa är 30°

Tyvärr jag är digitalt nollad, får aldrig in bilder på detta forum..

Om höjden är $h$, hur lång är då radien? Hur lång är hypotenusan? (Jag tror inte du behöver den, men bara så att du vet vad som är vad...)

Det står still. Tror att jag ska vila från denna uppgift en stund och återkomma 

Jag antar att bilden i din bok ser ut ungefär så här:

Vad får du om du tar tangens av den översta vinkeln i denna triangel?

r/h=tan30

h=1/(3^(1/2))r

Nästan.

Det första är rätt, nämligen att:

$\dfrac{r}{h}=\tan\left(30^{\circ}\right)$

vilket kan förenklas till:

$\dfrac{r}{h}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

Multipliceras därefter båda led med $h$ får vi:

$r=\dfrac{h}{\sqrt{3}}$

Detta är sambandet vi eftersöker. Vad får du om du sätter in det i det jag beskrev i mitt första inlägg?

Linn skrev:

Vinkeln mellan höjd och hypotenusa är 30°

Tyvärr jag är digitalt nollad, får aldrig in bilder på detta forum..

Vi hjälper dig gärna med det. Det är ju synd om det inte går. Hur långt har du kommit förut? Nu när jag skriver det här har jag en rad med symboler en bit upp. Längst till höger är ett rottecken och bredvid det är en liten tavla med ett berg och en sol. Trycker man på den ska det dyka upp ett nytt fönster där man kan välja en bild.

Ja, $h=\sqrt3\cdot r$.

Du har uppgiften att bestämma hur snabbt vattendjupet sjunker i det ögonblicket när konens höjd är 8 dm när du vet att vattnet rinner ut med hastigheten 2 liter/minut. (En liter är samma sak som en kubikdecimeter, så det är vettigt att använda enheten dm så får vi enkla siffror att jobba med.) Eftersom du är intresserav av vattendjupet och vattendjupets förändring, är det smart att uttrycka konens volym som en funktion av höjden $h$. (Man hade säkert kunnat konstruera en uppgift där det intressanta beror på radien $r$, en så är det inte i den här uppgiften.)

Hur stor volym har konen, när höjden är $h$? Eftersom du vet att $h=\sqrt3\cdot r$ kan du uttrycka konens volym som en funktion av bara en variabel, $h$.