Derivata av Sammansatt funktion

Svaret på första frågan är nog tyvärr att det är något du lär dig att känna igen.

Ibland är det uppenbart, som ditt exempel med cos(4x). Här har du ett inre linjärt funktionsuttryck 4x och ett yttre trigonometriskt funktionsuttryck cosinus.

I andra fall är det inte lika uppenbart, t.ex. om $f(x)=\sqrt{2x+1}$

Och ibland går det att skriva om funktionen så att den inte längre är sammansatt, t.ex. $\sin^2(x)$, som ju kan skrivas $\sin(x)\cdot\sin(x)$

Svaret på din andra fråga är nej, det räcker inte eftersom du då tappar bort den inre derivatan 4.

Är f(x)=sqrt(2x+1) en sammansatt funktion? Dvs att man ska derivera mha kedjeregeln?

Ja. Den yttre funktionen är "roten ur". Den inre funktionen är "2x+1"

Okej. Kan du ge fler exempel på vad sammansatta funktioner är?

$\ln(5x^2+4)$ - yttre funktion "ln()", inre funktion "5x²+4"

$e^{\sin(v)}$ - yttre funktion "e upphöjt till", inre funktion "sinus(v)"

Allt som kan skrivas $f(g(x))$. Här är $f$ den yttre funktionen och $g$ den inre funktionen.

Hur menar du med ”Allt som kan skrivas f(g(x))”

De flesta funktioner som inte är sammansatta t ex f(x)=x^4 kan skrivas sammansatta om vi anstränger oss. Det är meningslöst men vi kan göra det på skoj:
f(x)=x^2
g(x)=x^2
f(g(x))=(x^2)^2=x^4
Derivering av x^4: 4x^3
Derivering av f(g(x)) med kedjeregeln: f'(x)*g(x)*g'(x)=2x*x^2*2x=4x^3
Som förväntat samma sak

Försök till regel:
"Om en funktion omsluter en annan funktion och det inte går att förenkla till något som har enkla deriveringsregler måste man använda kedjeregeln."
T ex kan inte cos(2x^3) förenklas till något som vi enkelt kan derivera.

Varför kan man inte derivera 2x³  till 6x²? Varför måste kedjeregeln användas?

Funktionen är inte 2x^3. Den är cos(2x^3). Det är en helt annan funktion.

Kan e^sqrt 3x+1 även vara en sammansatt funktion? Vad r den inte och yttre  funktionen isf

Det blir sammansatt i tre steg. Då får man göra kedjeregeln 2 gånger. Enklast är att derivera alla 3 för sig och sen pussla ihop.

f(x)=e^x
g(x)=sqrt(x)
h(x)=3x+1
f(g(h(x)))=e^sqrt(3x+1)