Vad är variabel och konstant i sammansatt funktionens derivata?

Det är en omskrivning som görs för att kunna räkna ut hur en funktion påverkas när dess variabel påverkas. Om cirkelns area är beroende av tiden, innebär det att radien också är beroende av tiden. Eftersom en cirkels area är beroende av dess radie, räknar de här med att arean är beroende av radien, vars storlek i sin tur är beroende av tiden. 

Det är lättare att mäta hur radien förändras över tid, än att mäta hur arean (eller volymen, i andra uppgifter) förändras över tid. Därför vill man hellre mäta förändringen i radien, och utifrån det kunna beräkna förändringen i area, än att behöva mäta förändringen i area direkt. :)

Smutstvätt skrev:

Det är en omskrivning som görs för att kunna räkna ut hur en funktion påverkas när dess variabel påverkas. Om cirkelns area är beroende av tiden, innebär det att radien också är beroende av tiden. Eftersom en cirkels area är beroende av dess radie, räknar de här med att arean är beroende av radien, vars storlek i sin tur är beroende av tiden. 

Det är lättare att mäta hur radien förändras över tid, än att mäta hur arean (eller volymen, i andra uppgifter) förändras över tid. Därför vill man hellre mäta förändringen i radien, och utifrån det kunna beräkna förändringen i area, än att behöva mäta förändringen i area direkt. :)

Det blev lite förvirrande nu! A(r(t)) är ju arean som är beroende av tiden. Men arean är ju också beroende av radien men som är beroende av tiden. Så varför står det på derivatan att den är beroende av r men andra gången av t? Din förklaring var bra men frågan är kvar.

A(r(t)) borde ju vara arean beroende av radien och inte tiden! Tiden styr radien och radien styr ju arean? Så är A(r(t)) egentligen bara samma sak som A(r). För det står ju A(r)= arean på en cirkel

Och derivatan av det är ju dA/dr. 

Studenten06 skrev:

A(r(t)) borde ju vara arean beroende av radien och inte tiden! Tiden styr radien och radien styr ju arean? Så är A(r(t)) egentligen bara samma sak som A(r). För det står ju A(r)= arean på en cirkel

Och derivatan av det är ju dA/dr. 

Detta stämmer, om radien är konstant över tid. Problemet här är att radien förändras över tid. 

Men arean är ju också beroende av radien men som är beroende av tiden. Så varför står det på derivatan att den är beroende av r men andra gången av t?

Det är ett resultat av att man använder kedjeregeln, men det ser lite annorlunda ut när du deriverar en obestämd funktion. Om du skulle derivera $f\left(x\right)={\left(x^2+3\right)}^5$, då skulle du behöva beräkna den yttre derivatan, och sedan multiplicera med den inre derivatan, vilket ger $f\text{'}\left(x\right)=5{\left(x^2+3\right)}^4·2x$. 

Här har du funktionen $A(r(t))$, vilket är ett kompakt sätt att skriva "Arean beror av radien, som i sin tur beror av tiden". Derivering av A blir då: 

$D\left(A\right(r\left(t\right))=A\text{'}(r\left(t\right))·r\text{'}(t)$

Ett annat sätt att skriva derivatan $f'(x)$, Leibniz notation, är att skriva $\frac{d f}{d x}$. Derivatan av A blir med denna notation $D\left(A\right(r\left(t\right))=\frac{dA}{dr}·\frac{dr}{dt}$. :)

Smutstvätt skrev:

Studenten06 skrev:

A(r(t)) borde ju vara arean beroende av radien och inte tiden! Tiden styr radien och radien styr ju arean? Så är A(r(t)) egentligen bara samma sak som A(r). För det står ju A(r)= arean på en cirkel

Och derivatan av det är ju dA/dr. 

Detta stämmer, om radien är konstant över tid. Problemet här är att radien förändras över tid. 

Men arean är ju också beroende av radien men som är beroende av tiden. Så varför står det på derivatan att den är beroende av r men andra gången av t?

Det är ett resultat av att man använder kedjeregeln, men det ser lite annorlunda ut när du deriverar en obestämd funktion. Om du skulle derivera $f\left(x\right)={\left(x^2+3\right)}^5$, då skulle du behöva beräkna den yttre derivatan, och sedan multiplicera med den inre derivatan, vilket ger $f\text{'}\left(x\right)=5{\left(x^2+3\right)}^4·2x$. 

Här har du funktionen $A(r(t))$, vilket är ett kompakt sätt att skriva "Arean beror av radien, som i sin tur beror av tiden". Derivering av A blir då: 

$D\left(A\right(r\left(t\right))=A\text{'}(r\left(t\right))·r\text{'}(t)$

Ett annat sätt att skriva derivatan $f'(x)$, Leibniz notation, är att skriva $\frac{d f}{d x}$. Derivatan av A blir med denna notation $D\left(A\right(r\left(t\right))=\frac{dA}{dr}·\frac{dr}{dt}$. :)

Tack!

Varsågod! 😊