Derivata av exponentialfunktioner och logaritmfunktioner.

Vad menar du med u?

I genomgångarna brukar de skriva ex $e^u$där u då är den yttre(eller inre, lite osäker) funktionen. u skrivs sedan ut när man multiplicerar derivatan av den inre och yttre funktionen tillsammans

Okej. u ser ut att ange den inre funktionen. När du använder kedjeregeln kommer alltid den sista faktorn du multiplicerar med vara derivatan av den innersta funktionen. 

h(x) = Y(u(x))

h’(x) = Y’(u(x)) * u’(x)

Annan funktion:

p(x) = f(g(y(u(x))))

p’(x) = f’(g(y(u(x)))) * g’(y(u(x))) * y’(u(x)) * u’(x)

således kedjeregeln, blir som en kedja:)

Går det att hitta på ett exempel? Har så mycket formler i huvet att det hjälper mest att se. Fattar om det är omständigt!

eddberlu skrev:

Går det att hitta på ett exempel? Har så mycket formler i huvet att det hjälper mest att se. Fattar om det är omständigt!

Kanske så här?

Vi söker $x$-derivatan av $y=C\cdot a^x$

Första steget är att skriva om till $y=C\cdot e^{x\cdot\ln(a)}$.

Börja sedan inifrån och kalla den inre funktionen $u(x)=x\cdot\ln(a)$. Då blir den yttre funktionen $y(u)=C\cdot e^u$.

Den inre funktionens derivata med avseende på $x$ är nu lika med $\frac{du}{dx}=\ln(a)$.

Den yttre funktionens derivata med avseende på $u$ är nu lika med $\frac{dy}{du}=C\cdot e^u$

Enligt kedjeregeln får vi att $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=C\cdot e^u\cdot\ln(a)=$

$=C\cdot e^{x\cdot\ln(a)}\cdot\ln(a)$

Detta förstod jag helt! Tack. Blev mycket tydligare.

Vad bra.

Skrivsättet $\frac{dy}{dx}$ o.s.v. kallas Leibniz notation och har den fördelen över skrivsättet $y'$ (dvs Lagranges notation) att det är tydligt vilken oberoende variabel det är som derivatan avser, vilket är väldigt praktiskt då man ska ställa upp och tillämpa kedjeregeln.

Detta att hitta yttre/inre funktion vid sammansatta funktioner är lite svårt i början, men det blir, som allt annat, enklare efter tillräckligt mycket övning.

Jag föreslår att du letar reda på så många sådana uppgifter du bara kan där det gäller att derivera med hjälp av kedjeregeln. Skapa trådar här på PA där du visar dina försök och ber om återkoppling så ska du se att det kommer att klarna så småningom.

Skall göra det! Ah har övat som fasen nu så det sitter mycket bättre idag!