Derivata av exponentialfunktioner och logaritmfunktioner forts

Nej, det har att göra med själva definitionen för en logaritm. Är du med på att $\ln x$ är samma sak som ${\log }_{e}x$? 

Deeeet är jag nog inte.. vad betyder ${\log }_e$? Är det att logaritmen av e *x är ln x?

Den nedsänkta siffran eller bokstaven anger basen. I detta fall betyder det att det är "e-logaritmen". Den ovanstående logaritmen skulle alltså kunna läsas som "e-logaritmen av x" eller mycket vanligare "den naturliga logaritmen av x". Informellt kan man säga att "a-logaritmen av x" är det tal man måste höja basen a till för att erhålla talet x:

${\log }_{2}4=2$, eftersom $2^2=4$

Så om du redan vet vad talet du ska höja e till för att få x är, då kan du göra en ekvivalensomskrivning som han gjorde ovan. Förhållandet mellan talen förblir exakt likadant. I detta fall råkade detta tal vara "y". Alltså:

$e^y=x\iff y=\ln x$

så talet man ska upphöja e med för att behålla x är y?

Ja, exponenten du ska sätta på e för att erhålla x är y.

så man har bara tagit ln på båda sidor och på så sätt flyttat ner exponenten?

Nej, det är ingen logaritmlag. Det är med hjälp av definitionen för logaritmen man har gjort omskrivningen. Du kan läsa om (tio)logaritmer här:

https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/logaritmer/tiologaritmer#!/