Derivata av andra ordningen

Håller på med två uppgifter som är väldigt lika, där jag har fastnat på samma ställe.

Den första:

Bestäm y(x) som uppfyller ekvationen $y " - 3 y' = 0$ och villkoren $y' (0) = 0 o c h y (1) = 1$

Jag har fått fram den allmänna lösningen $y = C + D e^{3 x}$ , men hur går jag vidare därifrån? Kan inte komma ihåg då det var ett år sedan jag läste detta.

Andra uppgiften:

Bestäm lösningen till $y " + y' + 0, 25 y = 0$ om y(0) = 0 och y'(0) = 2

Även här har jag tagit fram allmänna lösningen: $y = e^{- 1 / 2 x} (C + D x)$

Som sagt är det på samma ställe som jag inte minns hur jag ska gå vidare.

Ta varje fråga i en egen tråd. /Smutstvätt, moderator

Angående första frågan: Sätt in ett: $y (1) = C + D \cdot e^{3}$ , samt derivera funktionen och sätt in x = 0. Vad får du för ekvation?

Förlåt, jag känner mig jätteförvirrad just nu... är med på y(1)=1 ger C+De^3 = 1, men hänger inte med hur jag ska derivera funktionen

Första frågan.

Inför funktionen $u(x) = y'(x)$ så att din differentialekvation blir en första ordningens differentialekvation för funktionen $u$ .

$u'(x) - 3u(x) = 0$ där $u(0) = 0$ .

Multiplicera ekvationens båda led med den integrerande faktorn $e^{-3x}$ .

$e^{-3x}u'(x) - 3e^{-3x}u(x) = 0 \iff (e^{-3x}u(x))' = 0 \iff e^{-3x}u(x) = C$

Villkoret $u(0) = 0$ ger

$e^{-3\cdot 0}u(0) = C \iff C = 0$

så att funktionen $u(x) = 0$ för alla $x$ . Det betyder att

$y'(x) = 0$ för alla $x$

vilket är samma sak som att $y(x) = D$ (konstant) för alla $x$ ; villkoret $y(1) = 1$ säger att $D = 1$ så att funktionen

$y(x) = 1$ för alla $x$ .

Svara

Visa senaste svar