Derivata - ange en funktion som uppfyller att f´(0)=2 och f´´(0)=4

Tänk simpelt! Andraderivatan ska vara fyra, och det kan inte vara ett polynom med annan grad än noll eftersom x = 0. Att x är noll är dock nyckeln här. Sätt att $f\text{'}\text{'}\left(0\right)=4$, och integrera den funktionen. Vad får du? För f'(x) kommer du att behöva en till konstantterm, vilken? Vad blir funktionen?

Okej, när jag integrerar $f\text{'}\text{'}\left(0\right) = 4$ får jag den primitiva funktionen $F\text{'}\text{'}\left(x\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}4x$. 

För funktionen $f\text{'}\left(0\right) = 2$får jag $F\text{'}\left(x\right) = 2x +2$

Nästan! Integreringen ger de primitiva funktionerna $f\text{'}\left(x\right)=4x+C$. Nu vill vi anpassa funktionen så att f'(0) = 2. Vad måste C vara för att detta ska vara möjligt? Vad händer om vi integrerar denna funktion? 

C måste då vara 2. 

Integrerar man den igen sen? Isf blir det $F\left(x\right) = 2x^2 + 2x + C$ där C kan vara vilken konstant som helst? 

Ja, och ja! För enkelhetens skull kan du sätta C till noll, men det spelar ingen roll. Om du vill jäklas kan du sätta C till något krångligt, bara för att du kan. :) För att dubbelkolla att vi gjort rätt kan vi derivera igen, och se till att funktionerna uppfyller de ställda kraven:

$$\begin{gathered} F\text{'}\left(x\right)=4x+2, \Rightarrow F\text{'}\left(0\right)=2 \\ F\text{'}\text{'}\left(x\right)=4, \Rightarrow F\text{'}\text{'}\left(0\right)=4 \end{gathered}$$

Japp, det stämmer!

Okej, men om jag ställer en följdfråga.

När man får liknande frågor ska man alltid titta på då x = 0 eller kan man också undersöka då t ex x = 2? Just i vårt fall så skulle $f´\left(0\right) = 2 \& f´´\left(0\right) = 4$ men tänk om vi istället hade $f´\left(2\right) = 2 \& f´´\left(2\right) = 4$ ?

Vi tittar på x = 0 eftersom det är det x-värde som ges i frågan. Det går absolut att beräkna för andra värden, men då blir det lite klurigare. Dock långt ifrån omöjligt. Vi kan tänka oss att vi även denna gång låter f''(x) vara konstanten fyra. Då blir derivatan återigen $f\text{'}\left(x\right)=4x+C$. Nu måste vi dock anpassa C lite annorlunda:

$f\text{'}\left(2\right)=8+C=2$, dvs. C = -6. 

Integrering ännu en gång ger funktionen $f\left(x\right)=2x^2-6x+C$. Vi kan även fundera på om vi kanske ska låta f''(x) vara något annat än en konstant. Vi kan exempelvis säga att $f\text{'}\text{'}\left(x\right)=2x$. Då behöver vi anpassa C åt andra hållet, så att vi får $f\text{'}\left(x\right)=x^2-2$, dvs. funktionen $f\left(x\right)=\frac{x^3}{3}-2x+C$. 

Okej, då förstår jag. Tack för hjälpen! 

Alternativt kan man sätta:

$f\left(x\right)=C{e}^{kx}$