Derivata 9

Bra, du har klurat ut att f''(x) = -x+6. Jag förklarar precis hur vi kan utgå ifrån den funktionen för att hitta f'(x), och sedan kan du se om du kan göra på samma sätt för att hitta f(x).

Om vi vet hur man deriverar polynom så kan vi "tänka baklänges" för att hitta en funktion f'(x) som har f''(x) som derivata. När vi deriverar x^n så får vi ju n*x^(n-1). När vi går åt andra hållet så behöver vi alltså ta +1 i exponenten och dividera alltihop med den exponenten. Eftersom -x egentligen har exponenten 1 så skriver vi -x^1, och när vi lägger vi till +1 där så får vi alltså exponenten 1+1=2 och sedan dividerar vi med 2. Då får vi $-\frac{x^2}{2}$(testa att derivera det så ser du att du får just -x).

När vi deriverar en term med formen nx så får vi ju bara n kvar, så den primitiva funktionen/antiderivatan av 6 blir helt enkelt 6x.

Men eftersom konstanter "försvinner" när man deriverar så måste vi också tänka på att alla funktioner y = -x^(2)/2 + 6x + c kommer att ha f''(x) ovan som derivata, och därför behöver vi bestämma vad konstanten c är i just den funktionen som vi söker. Det gör vi med hjälp av det som står i uppgiften—nämligen att f'(1) = 2. Vi sätter därför in x=1 i funktionen och får f'(1) = -1^(2)/2 + 6*1 + c = 2, och löser vi den ekvationen så finner vi att c = -7/2.

Alltså är $f\text{'}\left(x\right)=-\frac{x^2}{2}+6x-\frac{7}{2}$

Kan du göra likadant med denna funktion för att hitta f(x)?