Derivata

Om $f(x)=8x-3$ så är $f'(x)=8$

du har antagligen skrivit av fel?

Om du vill ta reda på F(x) får du integrera f. 

Ja, självklart! 

Men om ni hade kunnat förklara vad dom olika gör, även talet "e" hur det deriveras?

Om du har t.ex. en funktion $f(x)=e^{kx}$ så är derivatan av denna alltid $f'(x)=ke^{kx}$.

Men som nu räknar jag integraler så har jag uppgiften 

${\int }_{}^{}{e}^{4x} detta blir sedan \left[\frac{1}{4}{e}^{4x}\right]$  varför blir inte detta 4e${}^{4x}$?

Derivera F(x). Om det blir lika med f(x) har du gjort rätt, annrs har du gjort fel.

Det är derivatan av $e^{4x}$ som blir $4e^{4x}$.

För att du integrerar. Om du deriverar det du fått fram vid integrationen så ska du få tillbaka det som står i integralen (integranden, kallas det).

Så i ditt exempel har du $\int f(x)dx$ (Notera dx! Du måste integrera m.a.p. på en variabel) där $f(x)=e^{4x}$. Om du integrerar så vill du att $F(x)=4e^{4x}$, så deriverar vi denna ska vi få tillbaka $e^{4x}$. Men om vi deriverar din funktion får vi $16e^{4x}$, inte $e^{4x}$. 

Så regel:

För integraler gäller $\int e^{kx}dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+C$, $k\neq 0$

För derivatan gäller $\dfrac{d}{dx}(e^{kx})=ke^{kx}$.

Hej!

Derivatan ($f^'$) talar om hur funktionens ($f$) grafs lutning förändras.

Integralen ($F$) talar om hur arean under grafen till funktionen $f$ förändras.

Derivatan är

    $\displaystyle f^' = \frac{d\, f}{d\, x}$

och integralen är

    $\displaystyle F = (\text{Ett tal}) + \int f(x)\, dx$.

Det finns två samband mellan derivata och integral:

    1. Om man deriverar integralen så får man funktionen $f$.

    2. Om man integrerar derivatan så får man (Ett tal) + (funktionen $f$).

Exempel. Funktionen $f(x) = e^{4x}$ har derivatan $f^'(x) = 4e^{4x}$ och integralen $F(x) = (\text{Ett tal}) + 0.25e^{4x}.$

Om du integrerar derivatan så får du

    $(\text{Ett tal}) + 0.25\cdot 4e^{4x}$,

och om du deriverar integralen så får du

    $0 + 4\cdot 0.25e^{4x}.$

Albiki