Derivata

Någon idé? Försök skriva om roten ur med en exponent.

mikfem skrev:

Hej! Hur ska jag derivera f(x) = roten ur x utan att använda derivata regeln helt blint

Om du inte ska använda någon deriveringsregel så ska du nog använda derivatans "h-definition", dvs f'(x) = lim h->0 (f(x+h) - f(x))/h.

Känner du till den? Titta annars i din bok eller här.

Börja då med att ta fram uttryck för f(x) och f(x+h), sätt in dem i differenskvoten och se om du kan förenkla den.

Om du inte kommer vidare så kan du klicka på nedanstående tips, men ta dem ett i taget och försök först komma vidare själv mellan varje.

$$\begin{gathered} (\sqrt{x+h} - \sqrt{x}) / h \\ Sedan vet jag inte hur jag ska applicera konjugat rege\ln till detta. \\ mitt försök då: \\ {(\sqrt[]{x+h } + \sqrt{x})}^{2 } - {(\sqrt{x+h} - \sqrt{x} )}^2 / h (\sqrt[]{x+h } + \sqrt{x}) \end{gathered}$$

Det ser bra ut, förutom att du har glömt en parentes kring täljaren.

Hur ser det ut när du har förenklat kvadraterna i nämnaren?

mikfem skrev:

$$\begin{gathered} (\sqrt{x+h} - \sqrt{x}) / h \\ Sedan vet jag inte hur jag ska applicera konjugat rege\ln till detta. \\ mitt försök då: \\ {(\sqrt[]{x+h } + \sqrt{x})}^{2 } - {(\sqrt{x+h} - \sqrt{x} )}^2 / h (\sqrt[]{x+h } + \sqrt{x}) \end{gathered}$$

Det stämmer inte riktigt.

Konjugatet till $\sqrt{x+h}-\sqrt{x}$ är $\sqrt{x+h}+\sqrt{x}$ så om du förlänger kvoten med det så blir den  $\frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$.

=====================================

Tips: Om du tycker att det är besvärligt med alla rotenurtecken så kan du tillfälligt kalla $\sqrt{x+h}$ för $a$ och $\sqrt{x}$ för $b$.

Då kan täljaren skrivas $a-b$ och differenskvoten kan då skrivas $\frac{a-b}{h}$.

Eftersom konjugatet till $a-b$ är $a+b$ så blir differenskvoten efter förlängning lika med $\frac{(a-b)(a+b)}{h(a+b)}$.

Då kanske det är lättare att se hur du ska kunna använda konjugatregeln i täljaren?

Hej det verkar som om jag inte riktigt fattar. Det blir ju 

(a² - b²) / h(a+b)

Men hur ska jag göra nu? har testat att sätta tillbaka de värdena som jag tillfälligt bytte ut men kan fortfarande inte förenkla det till något rimligt svar

Ja det stämmer.

Eftersom $a=\sqrt{x+h}$ och $b=\sqrt{x}$ så blir ju täljaren nu $a^2-b^2=(\sqrt{x+h})^2-(\sqrt{x})^2=(x+h)-x=h$.

Fortsätt därifrån.

$uhh {{( \sqrt{x+h} )}^2}^{} är väl inte x +h u\tan x+h+rotuen ur x+h gånger 2$

Nej, så är det inte.

Du tänker kanske på kvadreringsregeln $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$?

Eftersom $\sqrt{x+h}=(x+h)^{\frac{1}{2}}$ så är

$(\sqrt{x+h})^2=((x+h)^{\frac{1}{2}})^2=$

$=(x+h)^{\frac{1}{2}\cdot2}=(x+h)^1=x+h$

Yngve skrev:

Nej, så är det inte.

Du tänker kanske på kvadreringsregeln $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$?

Eftersom $\sqrt{x+h}=(x+h)^{\frac{1}{2}}$ så är

$(\sqrt{x+h})^2=((x+h)^{\frac{1}{2}})^2=$

$=(x+h)^{\frac{1}{2}\cdot2}=(x+h)^1=x+h$

Tack för att du förklarar så bra