Derivata

Det stämmer frånsett en viktig detalj : Parentes! Det ska stå:  ( f(x+h)−f(x)) /h

Kvoten ger lutningen på en del som blir kortare och kortare. Ex medelhastighet. Först över 100 m,  sedan över 10 m och sedan i en punkt, dvs över 1 mm. 

Bråket ger oss lutningen på en punkt på en kurva.  Att skriva detta känns dock så vagt, kan jag skriva det på ett mer detaljerat sätt? 

Sen undrar jag även hur jag ritar upp detta på en graf och kontrollerar att det är rätt?

Vad är det du bildar med $f(x+h)-f(x)$? Sedan divideras det $(x+h)-x$, vad är det för differens?

Vad är det du gör när du tar beräknar $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$?

Jag tycker nog personligen att det kanske är lite vagt att  säga att det ger oss en lutning i en punkt på en kurva. Är det sant verkligen?

jag har ingen aning, jag försöker att förstå mig på allt detta men det går verkligen inte. Differenskvoten har jag hört men förstår mig inte riktigt på det uttrycket.

Jag beräknar väl förändringen vid en viss punkt.

Ja, men vad är det för lutning du beräknar? Det finns några ord som jag personligen tycker saknas i a) och sedan en ganska uppenbar i b). (Inte uppenbart för dig, utan för den som kan ämnet alltså. Ta det inte som ett påhopp mot din kunskap :-) )

Du väljer en funktion, $f$, och sedan ett visst värde på x-axeln som vi kallar $x$. Välj då $x+h$, det skulle då betyda (om $h>0$) att vi har gått $h$ till höger om $x$. Tänk dig att vi väljer $x=6$ och $h=1$, då skulle $x+h$ vara 7 och motsvarar då 1 steg åt höger på x-axeln. Så först har vi $\dfrac{f(7)-f(6)}{(6+1)-6}$. Vad är $f(7)$, $f(6)$? Vad är det vi beräknar med funktionen $y=f(x)$?

Jag förstår typ hur det hänger ihop men ändå inte och ju mer jag tänker på det desto mer förvirrad blir jag
:(

f(7) betecknar hela avståndet från 0 
f(6) betyder väl när x=6 

Violett skrev:

Jag förstår typ hur det hänger ihop men ändå inte och ju mer jag tänker på det desto mer förvirrad blir jag
:(

f(7) betecknar hela avståndet från 0 
f(6) betyder väl när x=6 

Det är inte konstigt, det är ett avancerat koncept.

En funktion tar in ett x-värde och ger ut ett y-värde. Dessa två kan du göra en graf av i ett koordinatsystem med punkterna $(x,f(x))$.

Vi kan ta $f(x)=x^2$ som ett exempel. Använd $x=2$ och $h=1$. Det betyder att $f(x)=f(2)=2^2=4$ samt att $f(x+h)=f(2+1)=f(3)=3^2=9$.

Själva differensen, alltså täljaren i derivatans definition, är då $f(x+h)-f(x)$ och med insatta tal blir det $f(3)-f(2)$, eller bara $9-4=5$. Vad vi får är alltså hur stor skillnaden är i y-värdet för funktionen.

Samtidigt tar vi $(x+h)-x$, som ger oss $(2+1)-2=1$. Vi har gått 1 steg åt höger.

Så själva kvoten är $\dfrac{f(3)-f(2)}{(2+1)-2}\leftrightarrow \dfrac{9-4}{1}=5$. Om som du säger så är detta lutningen, men lutning av vad? Jo, det är lutningen av något som kallas en sekant. En linje som går genom $(2,4)$ och $(3,9)$, man kan säga någon sorts "uppskattning" hur mycket lutningen är för funktionen mellan $x=2$ och $x=3$.

Det är egentligen svaret på a). Du beräknar med kvoten en lutning av en sekant (en linje som skär funktionen på två ställen), som är en sorts uppskattning till vad lutningen är i den punkten.

(här kan du se hur den här sekanten ser ut med $f(x)=x^2$ som exempel Graf över sekanten)

Vad händer nu när vi låter $h\rightarrow 0$? Vad betyder det för $x+h$ och $f(x+h)$?

Detta tänkte jag skriva

Bråket ger ändringskvoten mellan x och x +h 

lim h->0 låter vi h gå mot 0 är ett gränsvärde av det

Men är det jag skrev fel då, ska jag lägga till det du skrev?