derivata
funktionen, f alltså, har derivatan f'(x)03x^2+1 enligt bilden jag visar nedan
kan ska nu undersöka hur många reella lösningar ekvationen f(x)=0 har
jag började med att derivera:
f'(x)= 3x^2+1
f'(x) = 6x
6x=0
men sen vet jag inte hur jag ska fortsätta
Uppritad är derivatan av funktionen. Du vill hitta funktionen, då måste du integrera, inte derivera.
Du kan resonera dig fram till svaret.
Derivatan f'(x) är en andragradsfunktion.
Då måste funktionen f(x) vara en tredjegradsfunktion. Hur kan då denna tredjegradsfunktion se ut?
Nu är det bra om du ritar ett par skisser över godtyckliga tredjegradsfunktioner med olika utseenden och med olika antal nollställen. Här får du lite hjälp till det:
Grafen till en tredjegradsfunktion har alltid ett av två principiella utseenden:
- Antingen så kommer den långt nerifrån tredje kvadranten och fortsätter högt upp i första kvadranten. Detta är om x^3-termen har en positiv koefficient, typ x^3 + 4x^2 + 2x + 2.
- Eller så kommer den högt upp från andra kvadranten och fortsätter långt ner i fjärde kvadranten. Detta är om x^3-termen har en negativ koefficient, typ -2x^3 + 3x^2 + 4x + 1.
Alla tredjegradsfunktioner passerar alltså x-axeln på minst ett ställe, dvs f(x) har åtminstone ett (reellt) nollställe.
Hänger du med på detta? Ser du det framför dig?
Men en tredjegradsfunktion kan ha flera nollställen. Hur många kan den ha?
För att kunna ha två nollställen måste grafen först passera x-axeln en gång (uppifrån eller nedifrån), sedan vända och passera x-axeln en gång till. Men eftersom grafen då inte uppfyller ett av de två principiella utseendena så är detta inte möjligt (men en andragradsfunktion kan mycket väl ha detta utseende).
Tredjegradsfunktionen kan dock mycket väl ha tre nollställen. Då passerar grafen först x-axeln en gång, vänder och passerar x-axeln en gång till och sedan vänder den en sista gång och passerar x-axeln en tredje gång. Det stämmer med de principiella utseendena (nedifrån vänster upp till höger eller uppifrån vänster ner till höger). Tre nollställen kräver alltså två vändningar.
Nu har vi tillräcklig bakgrundskunskap för att ta oss an din uppgift, som är att ta reda på hur många reella lösningar ekvationen f(x) = 0 har.
Detta är samma sak som att ta reda på hur många nollställen f(x) har. Är du med på det?
Svaret är alltså, enligt ovanstående resonemang, 1 eller 3.
Men för att svaret ska kunna vara 3 krävs att grafen har två "vändningar", dvs både en minpunkt och en maxpunkt.
Känner du till sambandet mellan en funktions extrempunkter och dess derivata?
I så fall kan du nog fortsätta härifrån?
Derivatan är positiv för alla x. Det är då uppförsbacke åt höger hela tiden. Kan man passera samma höjd flera gånger i en uppförsbacke utan att det kommer en nedförsbacke emellan?
Dr. G skrev :Derivatan är positiv för alla x. Det är då uppförsbacke åt höger hela tiden. Kan man passera samma höjd flera gånger i en uppförsbacke utan att det kommer en nedförsbacke emellan?
... vilket var ett mycket kortare och bättre sätt att beskriva det jag försökte säga. :-)
Dr. G skrev :Derivatan är positiv för alla x. Det är då uppförsbacke åt höger hela tiden. Kan man passera samma höjd flera gånger i en uppförsbacke utan att det kommer en nedförsbacke emellan?
nej antar ja väll?
hoppasjagfårbrabetyg skrev :Dr. G skrev :Derivatan är positiv för alla x. Det är då uppförsbacke åt höger hela tiden. Kan man passera samma höjd flera gånger i en uppförsbacke utan att det kommer en nedförsbacke emellan?
nej antar ja väll?
Stämmer. Vad kan du då dra för slutsats om antalet reella lösningar till ekvationen f(x) = 0?
smaragdalena skrev :hoppasjagfårbrabetyg skrev :Dr. G skrev :Derivatan är positiv för alla x. Det är då uppförsbacke åt höger hela tiden. Kan man passera samma höjd flera gånger i en uppförsbacke utan att det kommer en nedförsbacke emellan?
nej antar ja väll?
Stämmer. Vad kan du då dra för slutsats om antalet reella lösningar till ekvationen f(x) = 0?
att den bara har en reell lösning?
Ja. Bra!
Läs nu mitt inlägg igen och se om du hänger med i resonemanget.
Om du gör det så kommer du att ha skapat dig en mycket större förståelse för hur det hänger ihop och du kommer då att vara bättre rustad att lösa liknande och till och med svårare uppgifter framöver.
Yngve skrev :Du kan resonera dig fram till svaret.
Derivatan f'(x) är en andragradsfunktion. Då måste funktionen f(x) vara en tredjegradsfunktion.
Hur kan då denna tredjegradsfunktion se ut?
Grafen till en tredjegradsfunktion har alltid ett av två principiella utseenden:
- Antingen så kommer den långt nerifrån tredje kvadranten och fortsätter högt upp i första kvadranten. Detta är om x^3-termen har en positiv koefficient, typ x^3 + 4x^2 + 2x + 2.
- Eller så kommer den högt upp från andra kvadranten och fortsätter långt ner i fjärde kvadranten. Detta är om x^3-termen har en negativ koefficient, typ -2x^3 + 3x^2 + 4x + 1.
Alla tredjegradsfunktioner passerar alltså x-axeln på minst ett ställe, dvs f(x) har åtminstone ett (reellt) nollställe.
Men en tredjegradsfunktion kan ha flera nollställen. Hur många kan den ha? För att kunna ha två nollställen måste grafen först passera x-axeln en gång (uppifrån eller nedifrån), sedan vända och passera x-axeln en gång till. Men eftersom grafen då inte uppfyller ett av de två principiella utseendena så är detta inte möjligt (men en andragradsfunktion kan mycket väl ha detta utseende).
Tredjegradsfunktionen kan dock mycket väl ha tre nollställen. Då passerar grafen först x-axeln en gång, vänder och passerar x-axeln en gång till och sedan vänder den en sista gång och passerar x-axeln en tredje gång. Det stämmer med de principiella utseendena (nedifrån vänster upp till höger eller uppifrån vänster ner till höger). Tre nollställen kräver alltså två vändningar.
Nu har vi tillräcklig bakgrundskunskap för att ta oss an din uppgift, som är att ta reda på hur många reella lösningar ekvationen f(x) = 0 har.
försökte sammanställa det du sa ovan men känns som om jag bara klyddar till det och inte är klart på saken om varför den har 1 reell lösning
OK ingen fara om det inte sätter sig nu. Låt det marinera ett tag och läs sedan igen. Som tröst kan jag säga att det här är mycket enklare att förklara och förstå om man sitter tillsammans med papper och penna.
Vilken kurs läser du nu och vad är tidplanen? Vad har du läst tidigare?
Yngve skrev :OK ingen fara om det inte sätter sig nu. Låt det marinera ett tag och läs sedan igen. Som tröst kan jag säga att det här är mycket enklare att förklara och förstå om man sitter tillsammans med papper och penna.
Vilken kurs läser du nu och vad är tidplanen? Vad har du läst tidigare?
det är en kurs jag efter gymnasiet nu ska komplettera, och har lyckats få en tid imorgon att göra det, så vill jättegärna förstå detta innan..
hoppasjagfårbrabetyg skrev :Yngve skrev :OK ingen fara om det inte sätter sig nu. Låt det marinera ett tag och läs sedan igen. Som tröst kan jag säga att det här är mycket enklare att förklara och förstå om man sitter tillsammans med papper och penna.
Vilken kurs läser du nu och vad är tidplanen? Vad har du läst tidigare?
det är en kurs jag efter gymnasiet nu ska komplettera, och har lyckats få en tid imorgon att göra det, så vill jättegärna förstå detta innan..
har du möjligheten att vi två sammanställer allt vi fått fram tillsammans?
hoppasjagfårbrabetyg skrev :det är en kurs jag efter gymnasiet nu ska komplettera, och har lyckats få en tid imorgon att göra det, så vill jättegärna förstå detta innan..
Jättekul att du verkligen vill förstå och lära dig, men om du ska visa dina kunskaper redan imorgon så är det lite ont om tid.
Hur ser det ut för övrigt med kursen, har du koll på de andra delarna inför imorgon?
Om inte så är det bättre att du fokuserar på de osäkra delarna istället för att få fördjupade kunskaper om dessa sammanhang.
Yngve skrev :hoppasjagfårbrabetyg skrev :det är en kurs jag efter gymnasiet nu ska komplettera, och har lyckats få en tid imorgon att göra det, så vill jättegärna förstå detta innan..
Jättekul att du verkligen vill förstå och lära dig, men om du ska visa dina kunskaper redan imorgon så är det lite ont om tid.
Hur ser det ut för övrigt med kursen, har du koll på de andra delarna inför imorgon?
Om inte så är det bättre att du fokuserar på de osäkra delarna istället för att få fördjupade kunskaper om dessa sammanhang.
Vet att jag är sent ute men har varit sjuk och allt så har inte hunnit ta min tid att träna. men i övrigt vet jag allt det andra, då det är bara denna jag fastnat på, om du hade kunnat hjälpa mig formullera något på A- nivå som visar hur jag undersöker hur många reella lösningar ekvationen f(x)=0 har. för känns mer som om jag gissat mig till svaret och inte gjort någon större utträkning
kan han/hon inte skriva så som skrivit
"Men en tredjegradsfunktion kan ha flera nollställen. Hur många kan den ha? För att kunna ha två nollställen måste grafen först passera x-axeln en gång (uppifrån eller nedifrån), sedan vända och passera x-axeln en gång till. Men eftersom grafen då inte uppfyller ett av de två principiella utseendena så är detta inte möjligt (men en andragradsfunktion kan mycket väl ha detta utseende).
Tredjegradsfunktionen kan dock mycket väl ha tre nollställen. Då passerar grafen först x-axeln en gång, vänder och passerar x-axeln en gång till och sedan vänder den en sista gång och passerar x-axeln en tredje gång. Det stämmer med de principiella utseendena (nedifrån vänster upp till höger eller uppifrån vänster ner till höger). Tre nollställen kräver alltså två vändningar.
Nu har vi tillräcklig bakgrundskunskap för att ta oss an din uppgift, som är att ta reda på hur många reella lösningar ekvationen f(x) = 0 har. "
dock kan någon ifall hon inte vet hur hon ska koppla allt samman hjälpa henne, då jag själv har svårt för det för tillfället
Det är ingen idé att du lär dig detta utantill.
Det jag skrev var specifikt giltigt för just tredjegradsfunktioner.
Om du ska kunna förklara något på A-nivå så måste du förstå sammanhangen.
Tänk om du får en fråga som gäller fjärdegradsfunktioner?
Yngve skrev :Det är ingen idé att du lär dig detta utantill.
Det jag skrev var specifikt giltigt för just tredjegradsfunktioner.
Om du ska kunna förklara något på A-nivå så måste du förstå sammanhangen.
Tänk om du får en fråga som gäller fjärdegradsfunktioner?
ja men det jag skrev där uppe var det jag förstått, snälla hjälp mig formullera något på bra nivå,, kommer aldrig mer skriva i sista sekunden, men har verkligen kämpat! :(
Nej, vi levererar inte fullständiga lösningar. Pluggakuten är hjälp till självhjälp och det har du verkligen fått. Försök att förstå detta i stället för att be att någon annan ska göra uppgiften åt dej.
Derivatan f'(x) är en andragradsfunktion. Då måste funktionen f(x) vara en tredjegradsfunktion. Hur kan då denna tredjegradsfunktion se ut?
Grafen till en tredjegradsfunktion har alltid ett av två principiella utseenden:
- Antingen så kommer den långt nerifrån tredje kvadranten och fortsätter högt upp i första kvadranten. Detta är om x^3-termen har en positiv koefficient, typ x^3 + 4x^2 + 2x + 2.
- Eller så kommer den högt upp från andra kvadranten och fortsätter långt ner i fjärde kvadranten. Detta är om x^3-termen har en negativ koefficient, typ -2x^3 + 3x^2 + 4x + 1.
Alla tredjegradsfunktioner passerar alltså x-axeln på minst ett ställe, dvs f(x) har åtminstone ett (reellt) nollställe.
Men en tredjegradsfunktion kan ha flera nollställen. Hur många kan den ha?
För att kunna ha två nollställen måste grafen först passera x-axeln en gång (uppifrån eller nedifrån), sedan vända och passera x-axeln en gång till. Men eftersom grafen då inte uppfyller ett av de två principiella utseendena så är detta inte möjligt (men en andragradsfunktion kan mycket väl ha detta utseende).
Tredjegradsfunktionen kan dock mycket väl ha tre nollställen. Då passerar grafen först x-axeln en gång, vänder och passerar x-axeln en gång till och sedan vänder den en sista gång och passerar x-axeln en tredje gång. Det stämmer med de principiella utseendena (nedifrån vänster upp till höger eller uppifrån vänster ner till höger). Tre nollställen kräver alltså två vändningar.
ta reda på hur många reella lösningar ekvationen f(x) = 0 har. Detta är samma sak som att ta reda på hur många nollställen f(x) har. Svaret är alltså, enligt ovanstående resonemang, 1 eller 3. Men för att svaret ska kunna vara 3 krävs att grafen har två "vändningar", dvs både en minpunkt och en maxpunkt. vilket vår graf inte har, och det innebär då att denna grafen endast har en reell lösning!
Dr G skrev egentligen allt man behöver veta här:
Det är uppförsbacke åt höger hela tiden (dvs derivatan är positiv överallt).
hoppasjagfårbrabetyg skrev :Derivatan f'(x) är en andragradsfunktion. Då måste funktionen f(x) vara en tredjegradsfunktion. Hur kan då denna tredjegradsfunktion se ut?
Grafen till en tredjegradsfunktion har alltid ett av två principiella utseenden:
- Antingen så kommer den långt nerifrån tredje kvadranten och fortsätter högt upp i första kvadranten. Detta är om x^3-termen har en positiv koefficient, typ x^3 + 4x^2 + 2x + 2.
- Eller så kommer den högt upp från andra kvadranten och fortsätter långt ner i fjärde kvadranten. Detta är om x^3-termen har en negativ koefficient, typ -2x^3 + 3x^2 + 4x + 1.
Alla tredjegradsfunktioner passerar alltså x-axeln på minst ett ställe, dvs f(x) har åtminstone ett (reellt) nollställe.
Men en tredjegradsfunktion kan ha flera nollställen. Hur många kan den ha?
För att kunna ha två nollställen måste grafen först passera x-axeln en gång (uppifrån eller nedifrån), sedan vända och passera x-axeln en gång till. Men eftersom grafen då inte uppfyller ett av de två principiella utseendena så är detta inte möjligt (men en andragradsfunktion kan mycket väl ha detta utseende).
Tredjegradsfunktionen kan dock mycket väl ha tre nollställen. Då passerar grafen först x-axeln en gång, vänder och passerar x-axeln en gång till och sedan vänder den en sista gång och passerar x-axeln en tredje gång. Det stämmer med de principiella utseendena (nedifrån vänster upp till höger eller uppifrån vänster ner till höger). Tre nollställen kräver alltså två vändningar.
ta reda på hur många reella lösningar ekvationen f(x) = 0 har. Detta är samma sak som att ta reda på hur många nollställen f(x) har. Svaret är alltså, enligt ovanstående resonemang, 1 eller 3. Men för att svaret ska kunna vara 3 krävs att grafen har två "vändningar", dvs både en minpunkt och en maxpunkt. vilket vår graf inte har, och det innebär då att denna grafen endast har en reell lösning!
kolla, ovan har jag sammanställt allt jag verkligen förstått, undrar bara ens sista sak om det inte är till besvär, vad är sambandet mellan en funktions extrempunkter och dess derivata?
Om du drar en tangent till funktionens graf i en viss punkt så har den tangenten samma lutning som funktionens derivata i den punkten. Detta är grundläggande och viktigt att förstå.
Eftersom tangenterna i extrempunkterna är horisontella (vågräta) så har de lutningen 0.
Det betyder att funktionens derivata i just de punkterna har värdet 0.
Det ger oss följande standardmetod för att hitta extrempunkterna till en funktion f(x):
- Derivera f(x), vilket ger ett uttryck för f'(x).
- Sätt f'(x) = 0 och lös den ekvationen. Det ger dig alla värden på x där f(x) har en horisontell tangent, alltså x-koordinaterna för alla extrempunkter.
- Om du dessutom vill få reda på y-värdet för dessa extrempunkter så ska du sätta in vart och ett av de x-värden du fått i ursprungsekvationen f(x). Det ger dig respektive y-värde.
