Derivata

Jag gör om en liten bit av lösningen så att den blir enklare.

$V\text{'}\left(x\right) = \frac{5\pi }{3} ·\left(3x²-8x+4\right)$

Extrempunkten är där $V\text{'}\left(x\right) = 0$

Eftersom $\frac{5\pi }{3}\ne 0$ då är $3x²-8x+4 = 0$

Rötterna är $$\begin{gathered} x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b² - 4ac}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 · 3 · 4}}{2 · 3} = \frac{8 \pm \sqrt{64-48}}{6} = \frac{8 \pm 4}{6} \\ {x}_1 = \frac{8 + 4}{6} = 2 \\ {x}_2 = \frac{8 - 4}{6} = \frac{2}{3} \end{gathered}$$

Gör en teckenstudie och bestämmer extrempunkternas karaktär:

-------------2/3 --------- 2 ----------

Vad är funktionens ( 3x²-8x+4 = 0) värde för 0? 4

Vad är funktionens värde för 1? 3-8+4=7-8=-1

Vad är funktionens värde för t.ex. 3? $3 · 3^2 - 8 · 3 + 4 = 27 - 24 + 4 = 31 - 24 = 7$

          +                          -                        +

-------------2/3 --------- 2 ----------

2/3 är maximipunkten och 2 är minimipunkten (hm, r = x - 2 och då är r = 0).

Kan du fortsätta?

PS Blir lite fundersam hur det kan stå r = x - 2 och samtidigt 0<x<=5

Jag får ett närmevärde V = 6,205 615 ...

och det är samma som ditt svar

Efter att man indentifierat maximipunkten
x= 2/3 så sätter man in det i originella funktionen V(x). Eftersom man inte får använda miniräknare så blir svaret exakta pi•(160/81).

med miniräknare blir det maximala volymen blir 6,205 (dm³?)

Den här biten menar allstå att x måste vara större en noll, då blir radie minus tal

r = x - 2 och samtidigt 0<x<=5

Kan det vara fel i uppgiften?

Om man skriver $r = \left|x - 2\right|$, då måste man undersöka $r = 2 - x$.

Men jag tycker att det är fel att skriva $r = x - 2$ om vi förutsätter att längder inte kan vara negativa och r får då högst vara mindre än 2.

Det är möjligt att uppgiften är fel, ska kolla imorgon i så fall 

Prova med $r = 2 - x$ i alla fall.

Då har du mera kött på benen för att ifrågasätta formuleringen.

MaKe skrev:

Prova med $r = 2 - x$ i alla fall.

Då har du mera kött på benen för att ifrågasätta formuleringen.

Menar du att utföra samma beräkning fastän med r=2-x  istället för r=x-2?

Ja, det är det jag menar.

Antag att radien är $r = 2 -x$

Volymen är $V = \dfrac{\pi (2-x)^2 5x}{3}$

$V = \dfrac {5\pi(4-4x+x^2)\cdot x}{3} = \dfrac{5\pi (4x-4x^2+x^3)}{3}$

Deriavatan $V'(x) = \dfrac {5\pi (4-8x+3x^2)}{3}$

$V'(x) = 0$ och då är $4-8x+3x^2=0$

Det har vi löst redan.

$x_1 = 2$ och radien blir noll.

$x_2 = \frac{2}{3}$

Radien blir $r=2 -\frac{2}{3} = \frac{6-2}{3}=\frac{4}{3}$

Volymen blir $V = \dfrac{\pi (\frac{4}{3})^2 5 \cdot \frac{2}{3}}{3} = \dfrac{\pi \cdot \frac{16}{9} \cdot \frac{10}{3}}{3}=\dfrac{160\pi}{81}$

Ingen skillnad.

Ahh, ok

slog in fel

Jag får det till samma värde som förut.

Stämmer inte svaret så är det ett fel i uppgiften.

Fråga imorgon och jag tycker att det är rimligt att säga att

om vi förutsätter att längder inte kan vara negativa och r får då högst vara mindre än 2.

Kom just på att $r = x - 2$

och om x = 5

då är r = 5 - 2 = 3

Man får alltså beräkna volymen även för r = 3

$V = \frac{\pi · 3^2 · 5 · 5}{3} = \pi · 3 · 5 · 5 = 75\pi$

Ja, där ser man. Man glömmer lätt att kontrollera värden i början och slutet av intervallet.

Så hur ska man redovisa sin beräkning?

ska man ta funktionen som man skapade i början V(x) och bara sätter in  5 inifrån intervallet ?

eller är det så att då man har x-värde 2 då derivatan är noll. Så ska man fortsätta kolla (i teckentabell) åt höger av x=2 , dvs man ska sätta 3,4,5 i funktionen 

Generellt gäller följande för att hitta det största och det minsta värdet av en funktion f(x) I ett intervall [a, b]:

• Derivera f(x).
• Lös ekvationen f'(x) = 0 i intervallet [a, b], vilket ger dig intervallets stationära punkter.
• Kandidater till största/minsta värdet är nu funktionsvärdena vid dessa stationära punkter samt vid intervallets gränspunkter a och b.
• Jämför dessa funktionsvärden så får du svaret.

Du behöver alltså egentligen inte använda någon teckentabell.

Ja, de x-värden jag hittade var genom derivering var x=2 och x=2/3. Dessa är stationära punkter.

Det var inom intervallet 0<x<=5

men då x=2, så blir r=2-2=0 ska jag ignorera detta bara? Och gå vidare till de övriga x-värden

Likaså när jag tog andra derivatan så kunde jag se att 2/3 var maximipunkt. 

Men nu är de övriga kandidater de i intervallets gränspunkter a och b.
Dvs x=0 och x=5.

Så jag ska sätta in dessa värden i V(x), den formeln man skapade i början. (Kon formeln)

och ta den med störst volym, i detta fall då x=5

Jag håller med MaKe om att radien $r$ inte kan vara negativ.

Jag skulle därför lösa uppgiften på följande sätt.

$V(x)=\frac{\pi r^2\cdot h}{3}=$

$=\frac{\pi (x-2)^2\cdot5x}{3}=\frac{5\pi}{3}\cdot (x^3-4x^2+4x)$.

$V'(x)=\frac{5\pi}{3}\cdot (3x^2-8x+4)$

$V'(x)=0$ ger då $3x^2-8x+4=0$, med lösningar $x_1=\frac{2}{3}$ och $x_2=2$. Detta är funktionens stationära punkter.

Eftersom radien måste vara större än 0 så måste det gälla att $x > 2$.

Det ger oss det egentliga intervallet $2 < x\leq5$

Ingen av de stationära punkterna ligger i intervallet, varför det räcker att studera funktionsvärdet vid/nära intervallets gränser.

Övre gränsen ingår i intervallet. Funktionsvärdet är där $V(5)=\frac{\pi (5-2)^2\cdot 5^2}{3}=75\pi$

Undre gränsen ingår inte i intervallet, så vi får därför istället titta på gränsvärdet för $V(x)$ då $x$ går mot 2.

$\lim_{x\rightarrow2^{+}}\frac{\pi (x-2)^2\cdot5x}{3}=0$

Svar: Största volymen är $75\pi$ v.e. och fås då $x=5$.

Skulle man kunna få lite feedback?

Andraderivatans värde vid x = 5 är inte relevant eftersom detta inte är en stationär punkt. Därför bör inte första raden vara med.

Om du vill ra reda på vilken typ av stationära punkter det är vid x = 2/3 och x = 2 så kan du använda andraderivatans värde eller en teckentabell. Det är onödigt att ha med båda. (Och dessutom är teckentabellen ofullständig.)

Jag saknar en motivering till varför det räcker att studera funktionsvärdet vid/nära intervallets gränser, nämligen att ingen av de stationära punkterna ingår i intervallet $2 < x\leq5$.

Annars ser det bra ut.

kan man med teckentabellen motivera att det är värt att studera funktionsvärdet vid/nära intervallets gränser?

Biorr skrev:

kan man med teckentabellen motivera att det är värt att studera funktionsvärdet vid/nära intervallets gränser?

Förlåt sent svar.

Nej, det har inte med teckentabellens innehåll att göra. Jag tycker inte heller att du behöver motivera det.

Kommentar på din lösning:

I det här fallet är det onödigt att bestämma de stationära punkternas karaktär eftersom det endast är funktionsvärdena vid dessa och vid/nära intervallets ändpunkter som.är intressanta.

Men om du ändå vill bestämma de stationära punkterna karaktär så räcker det med att antingen göra en teckentabell eller beräkna andraderivatans värde. Det är onödigt att göra både och.

Om du vill göra en teckentabell så tycker jag att du ska rita in pilar som visar lutningen på V(x) och att du inte ska ha någon rad för.V''(x). Typ så här:

Då kan man direkt ur tabellen utläsa de stationära punkternas karaktär.