Derivata

Skicka bild på hur långt du kommit.

Hej!

Vi vet att

$f\text{'}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim } \frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}$, så sätter vi in våran funktion $f\left(x\right)=\frac{A}{x}$ får vi:

$f\text{'}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim } \frac{\left({\displaystyle \frac{A}{x+h}}\right)-{\displaystyle \frac{A}{x}}}{h}$. 

Om vi börjar med att kolla på täljaren, och förenklar den så får vi:

$\frac{A}{x+h}-\frac{A}{x}=\frac{Ax}{x(x+h)}-\frac{A(x+h)}{x(x+h)}=\frac{Ax-Ax-Ah}{x(x+h)}=\frac{-Ah}{x(x+h)}$.

Vi har alltså att

$f\text{'}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\left({\displaystyle -\frac{Ah}{x(x+h)}}\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{h}\left(-\frac{Ah}{x(x+h)}\right)=\underset{h\to 0}{\lim }-\frac{Ah}{hx(x+h)}=\underset{h\to 0}{\lim }-\frac{A}{x(x+h)}$.

Låter vi nu $h\to 0$ får vi

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{A}{x(x+0)}=-\frac{A}{x^2}$.

Det stämmer ju!

A/x kan skrivas om som A * 1/x och 1/x kan skrivas om som x^(-1).

Helt plötsligt har vi då A*x^(-1)

Deriveringsregler ger: -1*A*x^(-1-1) = -A*x^(-2)

Som därefter sen kan då skrivas om till: -A/(x^2)

zino92 skrev:

A/x kan skrivas om som A * 1/x och 1/x kan skrivas om som x^(-1).

Helt plötsligt har vi då A*x^(-1)

Deriveringsregler ger: -1*A*x^(-1-1) = -A*x^(-2)

Som därefter sen kan då skrivas om till: -A/(x^2)

Uppgiften skulle lösas med hjälp av derivatans definition - det innebär att man inte får använda sig av några deriveringsregler.

mrpotatohead skrev:

Det stämmer ju!

Oj, trodde det var du anonymous003 som skrev uträkningen i inlägg #3. Sorry.