Derivata

Derivera dem. Men ska det inte stå x² i den andra nämnaren också?

ja,sorry x² ska det stå.

Om du vill kan du förenkla y innan du deriverar funktionerna.

blir en förenkling då y= 1/-1?

OliviaH skrev:

blir en förenkling då y= 1/-1?

Vad gör du nu? Visa steg för steg.

stryker x² i nämnare och täljare 

Kanske ska faktorisera istället?

OliviaH skrev:

Kanske ska faktorisera istället?

hur kan du faktorisera?

$\frac{x²}{x²-1}=\frac{x*x}{x*x-1}=\frac{1}{-1}= -1$

OliviaH skrev:

$\frac{x²}{x²-1}=\frac{x*x}{x*x-1}=\frac{1}{-1}= -1$

Steg 2 är fel.

Om du förkortar bråket med x² måste du dividera hela täljaren och hela nämnaren med x².

I täljaren blir det mycket riktigt 1, eftersom x²/x² = 1.

Men i nämnaren blir det (x²-1)/x², vilket är lika med 1-1/x², dvs inte lika med -1.

okej,  blir det x/-x? och svaret blir y= -x?

OliviaH skrev:

okej,  blir det x/-x? och svaret blir y= -x?

Nej. Du kan skriva om så här: $\frac{x²}{x²-1}=\frac{x²-1+1}{x²-1}=\frac{x²-1}{x²-1}+\frac{1}{x²-1}=1+\frac{1}{x²-1}$.

nu har du förenklat y och sedan adderat z? Eller? Kan man skriva om det på något annat sätt, jag förstår inte vad du har gjort

OliviaH skrev:

nu har du förenklat y och sedan adderat z? Eller? Kan man skriva om det på något annat sätt, jag förstår inte vad du har gjort

Nej, jag har bara förenklat y. 

Vilket steg är det du inte hänger med  på? Det som är efter första likhetstecknet är en fuling som man använder ganska ofta:  att  lägga till 0 (eller multiplicera med 1) ändrar inte värdet, och så kan man knixa till det så att allting blir enklare.

okej, då tror jag att jag förstår, kände inte till det. Men då är jag med igen, då är $y=1+\frac{1}{x²-1}$och $z=\frac{1}{x²-1}$

Då är derivatan samma eftersom 1 ändå deriveras bort?

Det är en bra övning att derivera ursprungsuttrycken utan att du förenklar först,

för att träna på derivering om inte annat

okej, så om jag inte förenklar, hur gör jag då?

derivera de två kvoterna var för sig, börja med den första!

$y\text{'}=\frac{2x}{2x-1}=\frac{2x-1+1}{2x-1}=\frac{2x-1}{2x-1}+\frac{1}{2x-1}=1+\frac{1}{2x-1}$???????

Nej det blir inte rätt.

Set finns en speciell formel du kan använda för att derivera en kvot av funktioner.

Du kan läsa mer om den här.

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=\frac{g\left(x\right)}{h\left(x\right)} \\ g\left(x\right)=x² \\ g\text{'}\left(x\right)=2x \\ h\left(x\right)=x²-1 \\ h\text{'}\left(x\right)= 2x \\ f\text{'}\left(x\right)=\frac{g\text{'}\left(x\right)*h\left(x\right)-g\left(x\right)*h\text{'}\left(x\right)}{\left(h\right(x\left)\right)²} \\ y\text{'}=\frac{(2x*x²-1)-(x²*2x)}{(x²-1)²}=\frac{(x²*2x-1)-(x²*2x)}{x⁴-1}= \frac{-1}{x⁴-1} \end{gathered}$$

Är detta rätt?

med samma uträkning får jag

 $$\begin{gathered} z=\frac{1}{x²-1} \\ z\text{'}=\frac{2x}{x⁴-1} \end{gathered}$$

OliviaH skrev:

Är detta rätt?

Nej det stämmer inte. Du glömmer parenteser i täljaren (se bild) och i nämnaren gäller det inte att (x²-1)² är lika med x⁴-1.

OliviaH skrev:

med samma uträkning får jag

 

 $$\begin{gathered} z=\frac{1}{x²-1} \\ z\text{'}=\frac{2x}{x⁴-1} \end{gathered}$$

Det här stämmer inte heller.

Men här behöver du inte använda formeln för deriivatan av en kvot utan du kan istället derivera uttrycket direkt med hjälp av kedjeregeln om du först skriver om det som z = (x²-1)^-1.

Tror nämnaren istället är x⁴+1?

Och täljaren blir 2x³-2x-2x³= -2x ?

hur vet man när man ska använda kvotregeln och kedjeregeln? Skulle jag kunna använda kvotregeln även på z?

Hur skrev du om z bråket?

OliviaH skrev:

Tror nämnaren istället är x⁴+1?

Gissar du bara nu?

Du behöver inte utveckla nämnaren, men om du vill göra det så ska du använda kvadreringsregeln (a-b)² = a²-2ab+b². I ditt fall är a = x² och b = 1.

I ditt fall är 

Och täljaren blir 2x³-2x-2x³= -2x ?

Ja, täljaren stämmer nu.

OliviaH skrev:

hur vet man när man ska använda kvotregeln och kedjeregeln? Skulle jag kunna använda kvotregeln även på z?

Om både täljaren och nämnaren är en funktion av x så bör du använda kvotregeln.

Om funktionen du ska derivera är sammansatt så bör du använda kedjeregeln.

Hur skrev du om z bråket?

Jag använde potenslagen $\frac{1}{a}=a^{-1}$.

I ditt fall är a = x²-1

såhär gjorde jag med z

är det rätt?

Nej det stämmer inte.

Sätt $z=z(u)=\frac{1}{u}=u^{-1}$ och $u(x)=x^2-1$.

Då är $z=z(u(x))$ och enligt kedjeregeln så får vi att $\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{du}\cdot\frac{du}{dx}$.

Eftersom $\frac{dz}{du}=(-1)\cdot u^{-2}=(-1)\cdot (x^2-1)^{-2}=$

$=\frac{-1}{(x^2-1)^2}$ och $\frac{du}{dx}=2x$ så får vi att $\frac{dz}{dx}=\frac{-1}{(x^2-1)^2}\cdot 2x=\frac{-2x}{(x^2-1)^2}$

okej, tack. Och det kan jag skriva som z'=$\frac{-2x}{x⁴+1}$

på y' svarade jag det, eller är det bättre att låta det stå (x²-1)²  i nämnare?

Det är böttre att låta det stå (x²-1)² i nämnaren.

Dels pga att du inte behöver skriva om den, men framför allt eftersom detta inte är lika med x⁴+1.

Tänk på kvadreringsregeln (a+b)² = a²+2ab+b².

ojdå.. okej tack

gjorde såhär

Är 1*2x = 2?

2x ska det stå, tack

Hej! Jag har skickat ett pm till dig!