Densitet uppgift 276

Din formel p=(m1+m2)/9r^2pih

ser jättebra ut att utgå ifrån. Försök att uttrycka m1 med hjälp av dess densitet p/2, och m2 med hjälp av dess okända densitet (kalla den tex x*p).

Volymen för m1 är ${\left(2r\right)}^2\times \mathrm{\pi }\times \mathrm{h}$

densiteten för den inre cylindern är $\frac{p}{2}$

Detta samband gäller $\frac{m}{v}=p$

$$\begin{gathered} m_1=v\times p \\ {m}_1=(4r^2\times \mathrm{\pi }\times \mathrm{h})\times \frac{\mathrm{p}}{2} \\ \mathrm{är} \det \mathrm{här} \mathrm{uttrycket} \mathrm{rätt}? \end{gathered}$$

Ja, fortsätt så.

Jag använder mig av uttrycket $$\begin{gathered} \left(1\right) m_1=(4r^2\times \mathrm{\pi }\times \mathrm{h})\times \frac{\mathrm{p}}{2} \\ \mathrm{Därefter} \mathrm{sätter} \mathrm{jag} \mathrm{in} \mathrm{uttryck} \left(1\right) \mathrm{i} \mathrm{uttryck} \left(2\right) \\ \left(2\right) \frac{{\mathrm{m}}_1+{\mathrm{m}}_2}{9{\mathrm{r}}^2\times \mathrm{\pi }\times \mathrm{h}}=\mathrm{p} \\ \frac{(4\times {\mathrm{r}}^2\times \mathrm{\pi }\times \mathrm{h})\times {\displaystyle \frac{\mathrm{p}}{2}}+{\mathrm{m}}_2}{9{\mathrm{r}}^2\times \mathrm{\pi }\times \mathrm{h}}=\mathrm{p} \\ \mathrm{jag} \mathrm{förenklar} \mathrm{detta} \mathrm{uttryck} \\ \frac{4\times {\displaystyle \frac{\mathrm{p}}{2}}+{\mathrm{m}}_2}{9}=\mathrm{p} \\ 2\mathrm{p}+{\mathrm{m}}_2=9\mathrm{p} \\ {\mathrm{m}}_2=7\mathrm{p} \end{gathered}$$

Massan för den yttre cylindern är 7p. volymen är $r^2\mathrm{\pi h}$

densiteten för den yttre cylindern blir $\frac{7p}{r^2\mathrm{\pi h}}=p$

i facit står det något helt annat. Vart är felet i min uträkning?  Hur ska jag istället tänka?

Det här är fel:

Du får inte förkorta med $r^2\pi h$ eftersom det inte är en faktor i täljarens andra term $m_2$.

Multiplicera istället båda sidor med vänstra sidans nämnare.

När du får uttryck där vänstra ledets enhet inte är samma som högra ledets enhet, då ska du börja misstänka att du gjort fel någonstans (i detta fall, som Yngve påpekade, använt räknereglerna på fel sätt. Följ hans råd).

Du kom plötsligt fram till att en massa m1 är 7 gånger en densitet p. Men eftersom enda sättet man kan få en massa ifrån en densitet är ifall densiteten multipliceras med en volym, så ska du börja misstänka att något är fel, och kan då gå bakåt i dina beräkningar för att se var enhetsfelet uppstår.

Hur ska jag gå tillväga? Har svårt att se hur jag ska förenkla...?

Antag Vy=volymen för yttre cylinder

Ansätt x*p=densiteten för yttre cylinder (x är den okända faktorn som du ska räkna ut)

Då kan du teckna m2=Vy*x*p

Sätt in ansatsen för m2 i din formel (2) tillsammans med m1 så kan du genast förkorta bort en hel del konstanter (utan att behöva göra det räkneregelfel som du gjorde förut)

Det blir fortfarande fel. 

Jag tror du beräknar m2’s volym fel.

Visa hur du beräknar volymen av m2.

Jag beräknar volymen på följande sätt. 
((3r-2r)^2 )*pi*h

Det blir fel basarea i ”röret” om du gör sådär. För att beräkna m2’s volym så måste du beräkna ”hela röret minus kärnan”. Ställ upp m2’s volym enligt den metoden så ser du att din metod blev fel.

Det är just detta som förvirrar mig. Just det att man måste skriva massan på följande sätt ((3r)^2)-(2r^2))*pi*h. Varför ska man skriva (3r)^2-(2r)^2?Varför blir det fel när man skriver det som (3r-2r)^2?

Anta att r = 2. Då är 2r = 4 och 3r = 6. Undrar du varför $6^2 - 4^2$ inte är samma som $(6-4)^2$?

Den totala radien för hela cylindern är 3r. Den inre cylindern har radien 2r. I detta fall ska man ta 3r - 2r (för att hitta radien av den yttre cylindern. Vi får det till”r”dvs radien på den yttre cylindern. Då blir volymen r^2 * pi *h för den yttre cylindern. Men allt detta tankesätt är fel. Hur ska jag istället tänka för att hitta radien på den yttre cylindern?

Det yttre är inte en cylinder. Därför fungerar inte cylinderformlerna för den formen. Den är en cylinder som man har tagit bort en mindre cylinder ur. 

Hur ska man istället tänka isåfall? hur hittar jag radien av den yttre figuren?  Vi vet att den totala radien är 3r. Den inre cylindern är 2r. Vad blir nästa steg?

solskenet skrev:

Hur ska man istället tänka isåfall? hur hittar jag radien av den yttre figuren?  Vi vet att den totala radien är 3r. Den inre cylindern är 2r. Vad blir nästa steg?

Rörets volym = stor cylinders volym - Liten cylinders volym.

Är du med på det?

Jaha då förstår jag. Det är ju massan delat på volymen. Man ska alltså ta skillnaden i volymen inte i radien. Men jag förstår fortfarande inte varför det blir fel om man tar stor radie - inre radien för cylindern = yttre figurens radie? Därefter kan man använda sig av den radien för att beräkna volymen. Men det här sättet är ju förstås fel. Hittar däremot ingen logisk förklaring till varför

Varför vill du att det ska finnas en "radie" för en figur som inte är en cylinder? 

Vad är det för figur annars? Är det inte så att det inte lagret och det yttre lagret tillsammans formar en cylinder?

Det yttre lagret är ett rör, dvs ett cylindriskt skal, dvs en ihålig cylinder.

Volymen som detta rör upptar beror (om allt annat är lika) på hur stor den inre radien är. Ju större inre radie, desto större volym eftersom omkretsen ökar med radien.

Jag tyckte Lagunas förklaring funkade bra. ${\mathrm{\pi r}}^2$ är formeln för arean av en cirkel, den är INTE en formel för arean av en "platt donut". 

Och rent intuitivt, arean för en platt donut vars bredd är r, kommer ju att växa och bli större och större ju större det inre hålet i donuten är (eftersom ju större den inre "radien" är, desto större måste den yttre  "radien" vara för att bredden på donuten fortfarande ska vara r). Tillslut kommer du att få en jättejättestor men smal platt donut som har bredden r. Det blir fullständigt  orimligt att tro att arean av en sådan donut fortfarande ska vara ${\mathrm{\pi r}}^2$, där r är bredden.

Eller hur? 

Skulle uppskattas om ni kunde förklara med hjälp av en bild. Ni skriver att det yttre röret kan förliknas med en donut. Och att volymen på donuten fås genom att ta den totala volymen - den inre ”tomma” delen av donuten. Är det så ni menar?

Ja det är så vi menar.

Här ser du det yttre området uppifrån, rödmarkerat. Det är alltså ett rör vars inre radie är 2r och yttre radie är 3r. Rörets väggar har en tjocklek som är 3r - 2r = r. Det är volymen av detta rörs väggar du ska beräkna, dvs hur mycket material som röret uppbyggt av. Ser du att det är som en ihålig cylinder?

För jämförelse har jag även i blått lagt in motsvarigheten till det du faktiskt har volymberäknat, nämligen en cylinder med radien r, även den sedd uppifrån.

Ser du att den röda tvärsnittsarean är större än den blåa tvärsnittsarean? Det betyder att volymen av det röda röret är större än volymen av den blåa cylindern. Det går alltså åt mer material att bygga upp det röda röret än den blå cylindern.