Den symmetriska derivatan (envariabelanalys)

Nu blir jag orolig att jag tänker för enkelt på (c), men om den är jämn (vilket jag tolkar som "symmetrisk"), så tänker jag att

$f(x_0+h)=f(x_0-h)$

vilket då gör att täljaren i $f{\text{'}}_s\left(x_0\right)$ alltid är 0

EDIT: ... då $x_0=0$

Det ligger nog något i det du säger. Blir det så som du skrev att f(x₀ + h)= f(x₀ − h) eftersom det är en jämn funktion? Förstår inte riktigt sambandet :(

Min gissning var rätt nu när jag kollar https://sv.wikipedia.org/wiki/J%C3%A4mna_och_udda_funktioner

Där står det "En funktion ƒ(x) är jämn om ƒ(-x) = ƒ(x), udda om ƒ(-x) = -ƒ(x)"

Jag skulle säga att (d)-uppgiften är lite lurig för att den ser svår ut men är enkel. Skillnaden mellan differenskvoten som finns i (d) och symmetriska derivatan som står högst upp är att det saknas $\underset{h\to 0}{\lim }$, som ju är en matematisk grej och inget som hör hemma i en faktisk uträkning. Om man programmerar något så väljer man helt enkelt ett jättelitet "h".

Så det du behöver göra är att låtsas som att du vill beräkna lutningen på linjen mellan de två punkter som de tipsar om, och sedan notera hur det blir derivata-uttrycket - så länge man sätter in ett pyttelitet "h".

Så för att bevisa det ska sätta in både både x och -x i definitionen och visa att täljaren alltid blir 0?

För min första tanke var att på något sätt visa att en jämn funktion har lutning 0 i mittpunkten och visa att gränsvärdet från både höger och vänster möts i en punkt $f\text{'}\left(0\right)$där lutningen är 0.

Okej så om jag förstått rätt ska jag i d) uppgiften beräkna lutningen med de punkter som de tipsat om och sedan försöka efterlikna det med det uttryck för differenskvoten med ett litet värde på h? 

Tack!!!

RaminBorhan skrev:

Så för att bevisa det ska sätta in både både x och -x i definitionen och visa att täljaren alltid blir 0?

För min första tanke var att på något sätt visa att en jämn funktion har lutning 0 i mittpunkten och visa att gränsvärdet från både höger och vänster möts i en punkt $f\text{'}\left(0\right)$där lutningen är 0.

Förstår din förvirring. Såna där "Visa att..."-uppgifter kommer jag ihåg som dryga, då det kändes otydligt hur de ville att man skulle visa det.

I den här uppgiften skulle jag börja med att kolla vad "jämn funktion" betyder, eftersom de drar upp det begreppet i uppgiften. När jag kollat upp det skulle jag lösa uppgiften såhär:

En jämn funktion innebär att $f(-x)=f\left(x\right)$

När $x_0=0$ så är $f(x_0\pm h)=f(\pm h)$, och uttrycket för symmetriska derivatan blir då

$f{\text{'}}_s\left(0\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(h\right)-f(-h)}{2h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{0}{2h}=0$

där vi använt att $f\left(h\right)=f(-h)$ för jämna funktioner.

Förstår nu! Tusen tack för hjälpen :)

Så lite så. Lycka till

Antag att f är deriverbar i x.

$$\begin{gathered} \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}=\frac{f(x+h)-f\left(x\right)+f\left(x\right)-f(x-h)}{2h}= \\ \frac{1}{2}\left[\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}+\frac{f(x+(-h\left)\right)-f\left(x\right)}{-h}\right] \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x-h)-f\left(x\right)}{-h}=\left\{sätt t=-h\right\}=\underset{-t\to 0}{lim} \frac{f(x+t)-f\left(x\right)}{t}= \\ \left\{-t\to 0 omm t\to 0\right\}=\underset{t\to 0}{lim}\frac{f(x+t)-f\left(x\right)}{t}=f\text{'}\left(x\right). \end{gathered}$$