Den största arean av en rektangel i ett koordinatsystem (Matematik/Matte 3/Derivata)

Nej, det som du har kallat x på bilden är inte samma som x-värdet och det som du har kallat y på bilden är inte samma saksom y-värdet. Kalla basen för b och höjden för h istället. Basen b är avståndet i x-led från punkten (x,y) till linjen x=6. Höjden h är avståndet i y-led från punkten (x,y) till linjen x=3. Rektangelns area är b*h.

Kommer du vidare?

Jag kommer inte riktigt vidare. Varför behöver jag benämna basen för b och höjden för h? Jag måste skapa ett uttryck som kan maximeras genom att derivera det uttrycket. Alltså genom att sätta derivatan lika med noll. Men det går inte. Vad gör jag för fel?

För att basen i rektangeln är inte samma sak som x-värdet och höjden är inte samma sak som y-värdet. Om rektangeln hade haft sitt motsatta hörn i (0,0) skulle din metod ha fungerat, men nu är det andra hörnet i punkten (6,3).

Välkommen till Pluggakuten!

Så här:

Det betyder att rektangelns area kan skrivas A = (6-x)(3-y).

Eftersom du vet att y = 4/x^2 så kan du ersätta y i uttrycket för A med 4/x^2.

Du får då en area A som endast beror av x.

Kommer du vidare då?

Hej Yngve!

Tack för hjälpen! Nu förstår jag. Basen är alltså avståndet från punkten x=6 till punkten x på grafen y=4/x^2. Likaså är höjden avståndet i y-led från punkten y=3 till punkten y på grafen y=4/x^2. Detta gör att jag kan beräkna den största arean genom att skapa funktionen och derivera. Gäller detta antagande generellt alltså? Om en viss punkt på koordinatsystemet ligger ovanför en viss graf och man ska beräkna den största arean för en rektangel ovanför grafen, då är höjden alltid avståndet i y-led till punkten (x,y). På samma sätt är basen avståndet i x-led från den punkten till (x,y)? Och eftersom längden inte kan vara negativ, spelar det ingen roll i vilken ordning termerna på basen respektive höjden kommer, eller hur? 6-x =x-6; 3-y=y-3 Stämmer detta? Enligt mina beräkningar är den största arean som rektangeln kan anta cirka 8,3 areaenheter. Kommer ni fram till samma svar?

Partykoalan skrev:
Hej Yngve!
Tack för hjälpen! Nu förstår jag. Basen är alltså avståndet från punkten x=6 till punkten x på grafen y=4/x^2. Likaså är höjden avståndet i y-led från punkten y=3 till punkten y på grafen y=4/x^2.

Ja du menar nog rätt fast du skriver lite fel. Linjen x = 6 är inte en punkt. Inte heller linjen y = 3.

Se figur nedan: Basen b är avståndet mellan punkt A och punkt B. Höjden h är lika med avståndet mellan punkt A och punkt C.

Detta gör att jag kan beräkna den största arean genom att skapa funktionen och derivera.

Ja att derivera funktionen och lösa ekvationen "derivatan = 0" är ett bra standardsätt att hitta extremvärden.

Så gäller detta antagande generellt alltså? Om en viss punkt på koordinatsystemet ligger ovanför en viss graf och man ska beräkna arean för en rektangel ovanför grafen, då är höjden alltid avståndet i y-led till punkten (x,y). På samma sätt är basen avståndet i x-led från den punkten till (x,y)?

Nej, det går inte att säga att det alltid gäller. Det kan vara olika villkor och förutsättningar i problemet som gör att det inte går att tillämpa en sådan standardregel. Det du bör göra är istället att alltid försöka rita en figur (precis som du gjort i detta fallet), förstå vad som efterfrågas och vad det innebär i din figur, att bestämma vilka storheter du behöver ta reda på och införa lämpliga beteckningar för dessa i figuren. Sedan bestämmer geometrin hur dessa storheter förhåller sig till varandra.

Och eftersom längden inte kan vara negativ, spelar det ingen roll i vilken ordning termerna på basen respektive höjden kommer, eller hur? 6-x =x-6; 3-y=y-3 Stämmer detta?

Det stämmer att en längd aldrig kan vara negativ. Men just därför är det extra viktigt att du sätter upp rätt ordning på termerna . Det gäller inte att 6-x = x-6. Inte heller att 3-y = y-3. Pröva själv med några olika värden på x och y så får du se.

Jag har skapat en funktion och deriverat den. Jag har också skapat en andraderivata av funktionen för att försäkra mig om att jag får just ett maximalt x-värde som jag sedan kan stoppa in i funktionen och därmed få en maximal area. X-värdet som jag kommer fram till är ca. 2,34 enheter och arean blir därmed ca 8,3 areaenheter. Stämmer detta med era beräkningar?

Det ser rätt ut.

Jättebra! Tack för hjälpen!

Efter att ha gjort ett par liknande uppgifter kommer jag fram till att det inte alltid är enkelt att komma fram till hur man ska beräkna avståndet från en viss punkt (x,y) till en graf och därmed beräkna avstånd. Låt säga att punkten inte hade befunnit sig ovanför grafen (som punkten 6,3) utan under grafen istället och hamnat i origo (0,0). När man nu ska beräkna avstånd mellan (0.0) och någon godtycklig punkt på grafen4/x^2, subtraherar man då avståndet från origo i både x och y led, dvs. (0-x;0-y) eller subtraherar man avståndet från någon godtycklig punkt på grafen istället, dvs (x-0;y-0). Subtraherar man avståndet från origo får man ett negativt x-och y-värde som ni märker (-x,-y). Men om man subtraherar avståndet från en godtycklig punkt på 4/x^2 får man ett positivt värde och därmed uttryck för basen och höjden på rektangeln (x,y). Hur vet man vilken punkt man ska subtrahera avståndet ifrån för att undvika att få negativa värden på basen och höjden på rektangeln dvs (x,y)? I mitt fall tog man avståndet från punkten (6,3) till grafen, dvs. (6-x);(3-y) men detsamma skulle antagligen inte gälla om punkten istället varit (0,0) dvs origo. Då hade ju basen och höjden haft ett minustecken framför, dvs (0-x);(0-y) vilket då blir (-x,-y). För att undvika minustecken måste man ju subtrahera tvärtom (x-0);(y-0) vilket blir uttryckt som (x,y). Min fråga är om man vid skapandet av sådana funktioner och uttryck för baser och höjder för en rektangel alltid tar den översta funktionen minus den understa för att slippa minustecken för basen respektive höjden? Punkten (6,3) ligger över grafen 4/x^2 men samtidigt ligger grafen över punkten (0,0)? Några funderingar?

Det finns ett begrepp som heter absolutbelopp som hjälper dig att hantera dessa problem.

Absolutbeloppet av ett tal a skrivs |a| och är lika med a om a $\geq$ 0 och lika med -a om a < 0.

Läs mer om detta här, scrolla ner till det korta avsnittet "Absolutbelopp".

Vi kan med hjälp av detta begrepp beskriva avståndet mellan två reella tal a och b som |a-b|.

Detta ger oss det önskade beteendet att storheten aldrig är nindre än 0, eftersom |a-b| = a-b om a-b $\geq$ 0 och |a-b| = -(a-b) = b-a om a-b < 0.

Exempel:

|6-2| = {eftersom 6-2 = 4 $\geq$ 0} = 6-2 = 4.

|2-6| = {eftersom 2-6 = -4 < 0} = -(2-6) = 6-2 = 4.

-----------

Notera att detta endast gäller horisontella eller vertikala avstånd, dvs sträckor som är parallella med antingen x-axeln eller y-axeln.

En generalisering till godtyckliga punkter i koordinatsystemet är följande:

Avståndet $d$ mellan $P_1=(x_1,y_1)$ och $P_2=(x_2,y_2)$ är $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ .

Detta kallas avståndsformeln och är egentligen bara en tillämpning av Pythagoras sats. Du kan läsa mer om den här.

-------------

Hjälpte det dig vidare?

Ja, delvis, men innebär det då i så fall att det inte spelar någon roll i vilken ordning man placerar termerna, dvs om (x-0);(y-0)=(0-x);(0-y), samt (6-x);(3-y)=(x-6);(y-3), då det rör sig om absolutbelopp och längden inte kan vara negativ? Dessutom handlar det om sträckor som är parallella med x-respektive y-axeln. Du nämnde i ditt tidigare inlägg att (6-x) ej är samma sak som (x-6), samt att (3-y) ej är samma sak som (y-3)? Skulle jag få samma svar, dvs samma största area på rektangeln om jag bytte plats på termerna? Dvs om ekvationen var A=bh; A=(x-6)(y-3). Skulle detta betraktas likadant som A=(6-x)(3-y). Om det inte betraktas likadant, varför är det så?

Om du använder absolutbelopptecken, dvs symbolen "|" (det raka strecket) så spelar det ingen roll i vilken ordning du skriver termerna.

Det gäller alltså att |6-x| = |x-6|.

Detta eftersom |6-x| betyder "absolutbeloppet av 6-x", viljet vi också enligt tidigare svar kan tolka som "avståndet mellan de två reella talen 6 och x".

Eftersom det gäller att avståndet mellan 6 och x är lika stort som avståndet mellan x och 6 så måste det gälla att |6-x| = |x-6|.

--------

Men om du istället använder vanliga parenteser, dvs symbolerna "(" och ")" så spelar det stor roll i vilken ordning du skriver termerna.

Det gäller alltså inte att (6-x) är lika med (x-6).

-----------

För att översätta till ditt problem med rektangeln så gäller det att

Basen b kan skrivas b = |6-x|
Basen b kan skrivas b = |x-6|
Basen b kan skrivas b = (6-x)
Basen b kan inte skrivas b = (x-6)

Motsvarande sak gäller för höjden h.

----------

Ser du skillnaden i skrivsätten?

Förstår du skillnaden mellan uttrycken?

Ja, precis. Nu förstår jag skillnaden i skrivsätten. Men det är ju knappast så att man uttrycker arean, dvs. basen gånger höjden A=bh med absolutbelopptecken. Man använder sig av vanliga parenteser istället, eller hur? Det verkar ovanligt att uttrycka arean A=|6-x||3-y|. Är det tillåtet att uttrycka arean på det sättet? Sedan undrar jag också varför basen uttrycks som just (6-x) men inte tvärtom. Likadant för höjden? Vad är det som avgör hur basen respektive höjden ska uttryckas på ett visst sätt om utgångspunkten befinner sig ovanför grafen (som i vårt fall punkten (6,3) ) respektive om utgångspunkten befinner sig under grafen ( ex. 0,0).

Partykoalan skrev:
Ja, precis. Nu förstår jag skillnaden i skrivsätten. Men det är ju knappast så att man uttrycker arean, dvs. basen gånger höjden A=bh med absolutbelopptecken. Man använder sig av vanliga parenteser istället, eller hur? Det verkar ovanligt att uttrycka arean A=|6-x||3-y|. Är det tillåtet att uttrycka arean på det sättet?

Ja det är tillåtet att uttrycka arean på det sättet, men det är inte speciellt praktiskt för de fortsätta beräkningarna. Du måste ändå ta reda på om (6-x) är ett positivt eller negativt uttryck för att fortsätta räkna. Detsamma gäller (3-y).

Sedan undrar jag också varför basen uttrycks som just (6-x) men inte tvärtom. Likadant för höjden? Vad är det som avgör hur basen respektive höjden ska uttryckas på ett visst sätt om utgångspunkten befinner sig ovanför grafen (som i vårt fall punkten (6,3) ) respektive om utgångspunkten befinner sig under grafen ( ex. 0,0).

Som jag skrev i ett tidigare svar:

Nej, det går inte att säga att det alltid gäller. Det kan vara olika villkor och förutsättningar i problemet som gör att det inte går att tillämpa en sådan standardregel. Det du bör göra är istället att alltid försöka rita en figur (precis som du gjort i detta fallet), förstå vad som efterfrågas och vad det innebär i din figur, att bestämma vilka storheter du behöver ta reda på och införa lämpliga beteckningar för dessa i figuren. Sedan bestämmer geometrin hur dessa storheter förhåller sig till varandra.

Det som är viktigt här är alltså förståelsen.

Förstår du att och varför basen i din uppgift är 6-x och inte x-6?
Förstår du att och varför höjden i din uppgift är 3-y och inte y-3?

Precis, jag förstår att basen är (6-x). Jag förstår också att höjden är (3-y). Det jag däremot inte riktigt begriper är varför de uttrycks på just det sättet och inte tvärtom. Vilka villkor och förutsättningar bestämmer att basen uttrycks just som (6-x) men inte (x-6) och varför är det så? Detsamma gäller höjden.

OK du förstår att men inte varför.

Orsaken till att basen är 6-x är att i detta fallet är 6 > x, vilket gör att 6-x är ett positivt tal. Därmed är x-6 ett negativt tal och det kan inte användas som uttryck för en sträcka.
Orsaken till att höjden är 3-y är att är att i detta fallet är 3 > y, vilket gör att 3-y är ett positivt tal. Därmed är y-3 ett negativt tal och det kan inte användas som uttryck för en sträcka.

-------------------------------

För att förstå om du ska använda 6-x eller x-6 respektive 3-y eller y-3 måste du rita en figur och ur den utläsa om x är mindre än eller större än 6 respektive om y är mindre än eller större än 3.

Det här gäller generellt.

Rita.
Titta.
Dra slutsatser.

Tack för förklaringen. Nu förstår jag varför basen respektive höjden uttrycks på det sättet.