Den inversa funktionen och begreppet substitution

f(x) = 2x +1 och som du konstaterat y = 2x + 1 såsom vi får lära oss att tänka, men så vill man visa att man lika gärna kan byta ut y mot z eller vilken bokstav som helst.

När de gjort det så har du z = 2x + 1 och då löser du ut x och det kallas för den inversa funktionen.

Okej, så de skriver bara z i stället för y. 

Men jag förstår inte hur de kan lösa ut x? Jag förstår alltså fortfarande inte övergången från z=2x+1 till x=(z-1)/2=z/2-1/2. 

Vanlig ekvationslösning 2x + 1 = z    2x = z - 1 o.s.v.

Jag har sannolikt formulerat frågan fel. Jag ser att om z=2x+1 så är x=z/2-1/2. Men jag förstår inte varför de gör såhär. Vad vinner vi på att formulera x i termer av z? 

Alltså, jag fattar inte vad de håller på med. [(2x+1, x) för x sådana att x hör till de reella talen] är väl en jättebra definition av punktmängden för den inversa funktionen till f(x)=2x+1. Varför vill de uttrycka den inversa funktionens punktmängd som [(z, z/2-1/2) sådana att z hör till de reella talen]?Vilken ny information tillförs genom att man omformulerar punktmängden?

Det känns som att jag går miste om något.

Hur man vill formulera sambandet beror på vilken fråga man vill ha svar på. 

f(s) = 8, undrar vad s är?

f(7) = t, undrar vad t är?

f_invers(u) = 6, undrar vad u är?

f_invers(5) = v, undrar vad v är?

EDIT Lagt till fler exempel

Tänk så här kanske?
Säg att en stads invånare växer med 2x + 1 per år beroende på antalet arbetsgivare.
Då har vi f(X) = 2x +1 där f(x) = antalet arbetsgivare, betecknas med z (eller exempelvis a.g. kunde ha varit aktuellt)
z = 2x + 1, känner vi igen nu eller hur?
Sen vill vi kanske se tvärtom antalet arbetsgivare beroende på antalet invånare.
Då vänder vi på det och tar inversen på funktionen och f(z) = (z-1)/2 där f(z) är antalet invånare beroende av antalet arbetsgivare.

Man försöker väl också förklara vad punktmängden är för att du ska se att det är (x;y) den handlar om. Det blir mycket information på en gång, men är du med på det jag försöker beskriva ovan?

Jag tycker faktiskt att frågan är väldigt bra, för den handlar om något viktigt. Man börjar med en funktion (man tar värden från definitionsmängden och beskriver hur de översätts vill värden i värdemängden). Reglerna där är som bekant att varje värde översätts till exakt ett värde. Sen när man ritar upp en graf för funktionen så skriver man y=f(x) och ritar ut punktmängden som är par [x, y] som uppfyller y=f(x), dvs kurvan är en lösningsmängd (samling punkter) till en ekvation. Så långt har man har gått från en funktion till (lösningsmängd till en) ekvation. Sen gör man en invers av grafen (lösningsmängden) genom att flippa den runt linjen y=x. Då hamnar varje punkt i lösningsmängden [x,f(x)] på [f(x),x], en punkt speglad i linjen y=x. På det sättet har man gjort en graf av en invers funktion som bytt plats på värdemängd och definitionsmängd. Du inser nu att inversen av grafen tolkas som grafen av inversen, vilket inte är ett litet steg. Nu vill man ju att inversen av funktionen (som man har en graf för) ska vara en avbildning från reella tal (inversens definitionsmängd) till värdemängden för inversen. De reella talen är något man vill kalla för x i en funktion g(x) som är invers till f(x), men det blir rörigt att göra det, så man kallar den för z istället. Men z är bara en formell parameter (du kan kalla den x om du vill, det gör ingen skillnad på funktionen). Att man blandar in z är bara ett sätt att ta sig från det gamla x till det nya x och det visar på ett algebraiskt sätt att tolka den grafiska inversen. Du vill alltid kunna skriva inversen som g(x) där x är reella tal.

Gången är ungefär

1. funktion -> graf
2. graf -> invers av grafen = ny graf
3. ny graf -> invers av funktionen = ny funktion

Efter det sista steget vill man ha något som är en funktion från rella tal till funktionsvärden (inversens värdemängd), och man formulerar en ny funktion algebraiskt. Det är nog det som du inte förstår vitsen med. Det är ingen stor grej, men man placerar sig tillbaka i definition av en funktion som en avbildning från reella tall till reella tal.

Det är också som du säger ingen ny information man tillför genom transformationen från punkter i gamla definitionsmängden till nya definitionsmängden, utan skillnaden ligger bara i vilken representation man använder.

Den abstraktion man kan använda för att tänka på funktioner ser ut lite såhär:

(hämtad från wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Surjective_function#/media/File:Surjection.svg)

medan en graf (plot) av en funktion är lösningsmängden till en ekvation, dvs de punkter (x,y) som uppfyller likheten y=f(x). Man går alltså funktion->graf->invers->graf->funktion och i det sista steget behöver man förklara vilken funktion det (effektivt) blir om man stoppar in ett reellt tal och får ut (den inversa) funktionens värde.