den inhomogena ekvationen

matte5uppgifter skrev :

Hej! Behöver hjälp med  två uppgifter:

1.Ställ upp en differentialekvation av typen y'+ay=b som har lösningen y=30+12e^-0,2x. Hur får facit det till b=6?

2.Bestäm den lösning till differentialekvationen y'+3y=6 som uppfyller villkoret y(0)=10. 

 

 

 

2: antog att yp=k

yprim=0

0+3k=6

k=2=yp=2

Allmänna lösningen y(h)=y=ce^-3x

y(h)+yp= Ce^-3x +2

y(0)=10

Ce^-3(0) +2=10

C=10-2=8

Sist y=8e^-3x +2

 Prov på onsdag? :) 

1. Då du har den givna lösningen att y = 30 + 12e^(-0,2x), så kan du konstatera att "a" i y' + ay = b kommer vara 0,2.

Sen vill du ha partikulärlösningen också, du vet att denna är 30 eftersom i lösningen har vi y = y_p + y_h. Då b är en konstant så är y också det, och då kommer derivatan vara 0, alltså kommer y' + ay = b vara --> 0 + ay = b, sen har vi konstaterat att a var 0,2. Vi har också konstaterat att partikulärlösningen är 30 = y, eftersom partikulärlösningen är "y", så har vi 0,2*30 = b, b blir då 6.

2. Jag löste denna på pappret (då jag pluggar på samma sida som dig just nu): https://i.imgur.com/3IWfzRJ.jpg

Eftersom 6 är en konstant, så kommer derivatan återigen vara 0. Vi kan då räkna ut y_p (partikulärlösningen) genom att ta 
y' + 3y = 6 Som blir 0 + 3y = 6. Lös ut y så blir det 2. Enligt y' + 3y = 6 kan vi också konstatera att k = -3, alltså är den homogena lösningen C*e^(-3x). Om du adderar den partikulära och den homogena så får du den allmänna lösningen, alltså C*e^(-3x) + 2 

Sen vet vi att y(0) = 10, alltså när x= 0 så kommer den allmänna lösningen ge 10. Det ställer du upp som vanligt:
10 = C*e^(-3*0) + 2. Du kan här lösa ut C som jag har gjort på pappret och du får då den fullständiga lösningen.