Delta-Epsilon bevis

Testa att göra omskrivningen f(x)g(x)-LM=f(x)g(x)-Mf(x)+Mf(x)-LM

Nu kanske jag inte skriver något du inte redan vet, men det du vill visa är väl att:

$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0$, sådana att $0< |x-a| < \delta \implies |f(x)g(x)-LM| < \epsilon$

Spontant känns det som man borde kunna jobba lite med olikheten längst till höger. Kanske så att du kan dela upp det i två epsilon-delta ”definitioner”. Om du då vet att både L och M är reella tal borde det vara klart. Men det ör förstås lättare sagt än gjort. Ska kolla mer när jag är hemma, om det inte löser sig tills dess! :)

Ja, det är exakt det ovan som jag vill visa. Jag har fått fram, genom den andra olikheten $$\begin{gathered} \left|f\left(x\right)g\left(x\right)-LM\right|=\left|f\left(x\right)g\left(x\right)-Mf\left(x\right)+Mf\left(x\right)-LM\right|= \\ =\left|\left(f\right(x)-L)M+\left(g\right(x)-M)f\left(x\right)\right|\le \left|\left(f\right(x)-L)M\right|+\left|\left(g\right(x)-M)f\left(x\right)\right| \end{gathered}$$

Jag antar att man kan sätta (f(x)-L) till mindre än ett epsilon av ett annat index än det som söks, och samma med (g(x)-M) på grund av att definitionerna tillåter det. (Alltså $\left|f\left(x\right)-L\right|<{\epsilon }_1$) 

Eagle314 skrev:

Ja, det är exakt det ovan som jag vill visa. Jag har fått fram, genom den andra olikheten $$\begin{gathered} \left|f\left(x\right)g\left(x\right)-LM\right|=\left|f\left(x\right)g\left(x\right)-Mf\left(x\right)+Mf\left(x\right)-LM\right|= \\ =\left|\left(f\right(x)-L)M+\left(g\right(x)-M)f\left(x\right)\right|\le \left|\left(f\right(x)-L)M\right|+\left|\left(g\right(x)-M)f\left(x\right)\right| \end{gathered}$$

Jag antar att man kan sätta (f(x)-L) till mindre än ett epsilon av ett annat index än det som söks, och samma med (g(x)-M) på grund av att definitionerna tillåter det. (Alltså $\left|f\left(x\right)-L\right|<{\epsilon }_1$) 

Jo men den andra termen är väl ändå lite krångligare eftersom f(x) inte är en konstant. Alltså även om g(x)-M går mot 0 så är det inte uppenbart att (g(x)-M)f(x) går mot 0. Här behöver du utnyttja att |f(x)| är nära L.