Delsteg i intergration

Hej,

jag vill integrera $\int \frac{x^{2}}{2 (x^{2} + 1)} d x$

Fastnade och kollade därför på ett lösningsförslag. Förstår det första steget, men ej sedan.

$\int \frac{x^{2}}{2 (x^{2} + 1)} d x = \frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x^{2} + 1} d x = \frac{1}{2} \int - \frac{1}{x^{2} + 1} + 1 d x$

Men hur gör de egentligen omskrivningen till det sista steget?

Om man skriver om det så här:

$- \frac{1}{x^{2} + 1} + 1 = \frac{- 1 + (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$

Hej,

Täljaren skrivs så att den liknar nämnaren.

$x^2 = (x^2+1)-1$

vilket ger integranden

$\frac{x^2}{2(x^2+1)} = \frac{(x^2+1)-1}{2(x^2+1)} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2(x^2+1)}$

och integralen

$\displaystyle\int\frac{x^2}{2\left(x^2+1\right)}\,dx = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}\arctan x + C.$

Svara