Delrum av R^3: Borde inte bara linjen räknas också?

Frågan jag kört fast på lyder:

Låt L vara lösningsmängden till ekvationssystemet $\{\begin{cases} 2 x - 2 y + z = 1 \\ x + y + z = 2 \end{cases}$ .

Bestäm alla delrum av $ℝ^{3}$ som innehåller L.

Jag har tillgång till facit, och jag förstår vad de gjort. De kommer fram till att de möjliga delrummen är hela $ℝ^{3}$ , samt planet $- 3 x + 5 y - z = 0$ . Det är jag med på. Det som ställer till det för mig är detta: Lösningsmängden till ekvationssystemet, L, är en linje. Borde inte den linjen också utgöra ett delrum i $ℝ^{3}$ , som innehåller L? Det står inget om en linje i facit, nämligen. Har de glömt att skriva till den, är det för uppenbart för att ta med, eller är jag helt ute och cyklar?

Delrummet måste innehålla nollvektorn (origo) för att kraven för ett linjärt rum skall vara uppfyllda. Linjen innehåller inte nollvektorn, alltså är den inget delrum.

Detta är ju även anledningen till att planen $2x-2y+z=1$ och $x+y+z=2$ inte är med i svaret på uppgiften. Båda innehåller lösningsmängden $L$ , men de är inte delrum till $\mathbb{R}^3$ eftersom de inte innehåller nollvektorn.

Just det ja, det hade jag helt glömt. Tack Alvin! :)

Svara