Delgrupper

Hej

jag sitter med en uppgift om delgrupper som jag inte förstår hur man ska lösa:

Betrakta delgrupperna $H : = (w)$ och $N : = (- 1)$ av $ℂ^{*}$ , den abelska gruppen av nollskilda komplexa tal under multiplikation, där w:= $e^{\frac{2 π i}{3}}$

a) Ange elementen i H och N

b) Ange alla element i mängden $H N = \{h n : h \in H & n \in N\}$ och visa att HN är en delgrupp i $ℂ *$

c) Avgör om HN är cyklisk. I så fall ange en generator av HN

I svaret ser jag att N=(-1,1) och H= $\{1, w, w^{2}\}$

men jag förstår inte riktigt hur man vet att det är elementen i H och N

Du får elementen genom att upprepad multiplikation helt enkelt.

Det gäller att $w^0 = 1$ , sen är $w^1 = e^{2\pi i/3}$ , $w^2 = e^{4\pi i /3}$ , $w^3 = e^{2\pi i} = 1$ , så här börjar det bara om. Därför har vi fått fram alla element i H, dvs $1, w, w^2$ .

Du gör samma sak för att komma fram till $N$ .

okej då förstår jag a, och i b har vi alltså att elementen blir $1, w, w^{2}, - 1, - w, - w^{2}$ men hur avgör vi om HN är cyklisk?

Jag tror att det lättaste är att bara försöka leta efter en generator. Testa exempelvis $-w$ som generator.

Svara

Visa senaste svar