Delgrupper

Hej

jag behöver lite hjälp med följande uppgift om delgrupper:

Betrakta delgrupperna H=(w) och N=(-1) av $ℂ^{*}$ , den abelska gruppen av nollskillda komplexa tal under multiplikation, där w= $e^{\frac{2 π i}{3}}$

a) Ange elementen i H och N

b) Ange alla element i mängden HN= $(h n : h \in H & n \in N)$ och visa att HN är en delgrupp i $ℂ^{*}$

c) Avgör om HN är cyklisk, ange i så fall en generator av HN

Jag fick i a uppgiften att vi har elementen H=1,w,w^2 och i N=-1,1 men jag är inte helt med på varför vi får dom elementen?

Det är helt enkelt så man definierar en grupp som genereras från ett element.

$<w> = \{w^{n} | n \in ℤ\}$

eftersom detta endast blir talen, $1, w, w^2$ så är alltså detta gruppen. Samma för N.

då förstår jag a, i b ska svaret bli (1,w, $w^{2}$ ,-1m-w,- $w^{2}$ ) tar man alltså bara H*N?

Ja du beräknar bara H*N i b uppgiften. Du ska också visa att detta är en delgrupp.

i svaret så visar dom att det är en delgrupp genom att sätta HN=NH

sedan i c så ska svaret bli:

(-w)= ${1, - w, w^{2}, - w^{3}, w^{4}, - w^{5}, w^{6}}$ = ${1, - w, w^{2}, - 1, w^{1}, - w^{2}, 1] = H N$ så HN är cyklisk med generator -w

men hur dom kommit fram till svaret är jag inte säker på.

Ja, precis HN är en delgrupp omm HN = NH. I detta fall är det ju trivialt eftersom $\mathbb{C}^\times$ är en abelsk grupp.

Du vet att du har att -1 har ordningen 2 och $w$ har ordningen $3$ detta betyder att $-1\cdot w$ har ordningen 6, vilket alltså måste gör att $-w$ är en generator (då gruppen innehåller 6 stycken element).

Svara

Visa senaste svar