Delgrupp

Hej

jag behöver lite hjälp med denna uppgift, jag tror att jag förstår hur man ska få fram svaren till a och b men inte c-uppgiften.

Betrakta delgrupperna H:=(w) och N:=(-1) av $ℂ *$ , den abelska gruppen av nollskillda komplexa tal under multiplikation där w:= $e^{\frac{2 π}{3}}$

a) Ange elementen i H och N

b) Ange alla element i mängden HN= $\{h n : h \in H & n \in N\}$ och visa att HN är en delgrupp i $ℂ *$

c) Avgör om HN är cyklisk. I så fall ange en generator av HN.

Elementen i H och N ska bli $H : = \{1, w, w^{2}\}$ och N:=(-1,1)

ska man ha med de tre första elementen efter som vi i detta fall har att $H = \{w\} = e^{\frac{2 π}{3}}$ och vi måste därför ta w tre gånger för att få $e^{2 π}$ ?

sedan i b-uppgiften får jag HN= $\{1, w, w^{2}, - 1, - w, - w^{2}\}$

I c-uppgiften förstår jag inte hur man ska göra, i svaret ser jag att -w är en generator till gruppen genom

$(- w) \{1, - w, w^{2}, - w^{3}, w^{4}, - w^{5}, w^{6}\} = \{1, - w, w^{2}, - 1, w^{1}, - w^{2}, 1\} = H N$

$H = (w)$ är delgruppen som genereras av $w$ (oaranteserna runt $w$ är notationen för den delgrupp som genereras av $w$ ), d.v.s. det är delgruppen som består av alla potenser av $w$ . Som du säger kommer dock potenserna att upprepa sig efter $3$ gånger, då $w^3 = e^{2\pi} = 1$ (kom ihåg att $e^{2\pi}$ är identitetselementet i $\mathbb{C*}$ ). Detta betyder att $w^4 = (w^3)w = 1w = w$ , vilket alltså inte blir ett nytt element utan bara upprepar sig. Alltså är $H = \{1, w, w^2\}$ .

Det grundläggande sättet att kolla om en delgrupp, eller en grupp i allmänhet, är cyklisk är att se om det finns något element som genererar hela gruppen (definitionen av en cyklisk är att de genereras av ett enda element). I detta fall, då gruppen bara har 6 element, är det inte så jobbigt att bara testa alla 6. Så t.ex. är $w$ inte en generator, vilket vi kan testa genom att ta potenser av $w$ och se om de blir hela gruppen. Men vi har ju redan konstaterat att potenserna av $w$ bara blir $(w) = \{1, w, w^2\}$ , vilket inte är $HN$ , varför $w$ inte kan vara en generator till $HN$ .

Okej, då får jag för H:

$w^{3} = e^{2 π} = 1 w^{4} = (w^{3}) w = w w^{5} = (w^{3}) w^{2} = w^{2}$

men när man ska generera hela gruppen HN förstår jag inte riktigt hur man ska göra. Hur ska man multiplicera tex $w^{2}$ *-w

Multiplikation i $\mathbb{C*}$ är "vanlig" multiplikation. Så $w^2 * -w = -w^3$$, precis som när man räknar med vilket algebraiskt uttryck som helst.

(Insåg precis också att vi båda glömt ett $i$ i $w$ , d.v.s. $w$ bör väl ändå vara $e^{\frac{2\pi}{3}i}$ )

När jag multiplicerar ihop får jag denna cayleytabell där samtliga element genererar gruppen

$\begin{matrix} ℂ * & 1 & w & w^{2} & - 1 & - w & - w^{2} \\ 1 & 1 & w & w^{2} & - 1 & - w & - w^{2} \\ w & w & w^{2} & 1 & - w & - w^{2} & - 1 \\ w^{2} & w^{2} & 1 & w & - w^{2} & - 1 & - w \\ - 1 & - 1 & - w & - w^{2} & 1 & w & w^{2} \\ - w & - w & - w^{2} & - 1 & w & w^{2} & 1 \\ - w^{2} & - w^{2} & - 1 & - w & w^{2} & 1 & w \end{matrix}$

så jag förstår inte varför just (-w) är svaret men sedan får jag inte samma svar som jag skrev i inledningen så någonstans blir det fel.

Jag är inte riktigt med på hur du får att alla element genererar gruppen från Cayleytabellen.

För att ett element ska generera gruppen ska man få hela gruppen genom att ta elementet gånger sig självt upprepade gånger. Som jag skrev tidigare så uppfyller t.ex. inte $w$ detta, då potenserna av $w$ bara är $(w) = \{1, w, w^2\}$ .

$-w$ uppfyller dock detta och det kan du testa genom att ta potenser av $-w$ ( $-w, (-w)^2, (-w)^3$ o.s.v.).

Svara

Visa senaste svar