delgrupp

Betrakta den dihedrala gruppen:

$D_{6} = {p^{k} : 0 \leq k < 6} \cup {σ ρ^{k} : 0 \leq k < 6}$

a) Lös ekvationen $σ ρ ζ ρ^{2} = σ$ dvs bestäm $ζ$

b) Visa att delgruppen N=(p) är normal i $D_{6}$ och bestäm kvotgruppen $D_{6} / N$

c) Är delgruppen H $= (σ)$ normal i $D_{6}$

När jag ska lösa a så får jag $σ ρ ζ ρ^{2} = σ$ och sedan multiplicerade med $σ^{- 1}$ och får $σ^{- 1} σ ρ ζ ρ^{2} = σ σ^{- 1}$ och sedan multiplicera båda leden med $ρ^{- 1}$ och får $ρ^{- 1} ρ ζ ρ^{2} = ρ^{- 1}$ då har vi kvar $ζ ρ^{2} = ρ^{- 1}$

men svaret ska bli $ζ = ρ^{3}$

Tänk på att multiplicera från rätt håll, i detta fall så spelade det ingen roll, men när du skriver

$\sigma^{-1}\sigma\rho\zeta\rho^2 = \sigma\sigma^{-1}$

Så har du multiplicerat åt fel håll i VL, $\sigma^{-1}$ ska stå till vänster.

Hursomhelst, du har att $\zeta\rho^2 = \rho^{-1}$ , multiplicera nu från höger med $\rho^{-2}$ så får du

$\zeta = \rho^{-3}$

Notera nu att i denna grupp så gäller det att $\rho^{-3} = \rho^3$ . Så man få alltså att

$\zeta = \rho^3$

okej så det blev åt fel håll, hur ska första steget se utom det är rätt? och kan vi alltså säga att $ρ^{3} = ρ^{- 3}$ eftersom vi får tillbaka samma bild om vi speglar en eller tre gånger?

Det blir bara

$\sigma^{-1}\sigma\rho\zeta\rho^2 = \sigma^{-1}\sigma$

Sedan har du att $\rho^3 = \rho^{-3}$ eftersom det helt enkelt gäller att $\rho^6 = 1$ så man får alltså att $\rho^6\rho^{-3} = \rho^{-3} \Leftrightarrow \rho^3 = \rho^{-3}$ . Det är alltså att tre stegs rotation medurs är samma sak som tre stegs rotation moturs.

Svara

Visa senaste svar