Delbarhet polynom

Jag använde helt enkelt "polynomial long division" och fick resultatet snabbt.

(https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_long_division#:~:text=In%20algebra%2C%20polynomial%20long%20division,division%20problem%20into%20smaller%20ones.)

Resultatet är x²ⁿ⁺¹ - x²ⁿ + x - 1

Hur genomförde du divisionen i praktiken när antalet termer i nämnaren beror på värdet av n?

Det blev lite fult :( men så ska du fortsätta med ytterligare 2 steg:

En annan lösning:

x^n-1 + x^n-2 + ... + x + 1 är en geometrisk summa.

$x^{n-1} + x^{n-2} + ... + x + 1 = \frac{x^n-1}{x-1}$

Vi ska nu bevisa att (xⁿ - 1) | (x³ⁿ - x²ⁿ + xⁿ -1)*(x-1)

(x³ⁿ - x²ⁿ + xⁿ -1)*(x-1) = x³ⁿ⁺¹ - x³ⁿ - x²ⁿ⁺¹ + x²ⁿ + xⁿ⁺¹ - xⁿ - x + 1  = (x³ⁿ⁺¹ - x²ⁿ⁺¹) - (x³ⁿ - x²ⁿ) + (xⁿ⁺¹ - x) - (xⁿ - 1) =

x²ⁿ⁺¹ * (xⁿ - 1) - x²ⁿ * (xⁿ - 1) + x * (xⁿ - 1) - (xⁿ - 1)

Tack!

Underbar undervisning av Macilaci!
Tackar!