Delbarhet och primtal
Jag behöver hjälp med två uppgifter som jag inte lyckas med:
1. Låt a och b vara godtyckliga heltal. Bevisa att talet ab(a^2-b^2) alltid är delbart med 6.
2. För vilka primtal p gäller det att roten ur (5p+49) är ett heltal ?
Hur ska jag göra?
Hej och välkommen hit.
Kan du skriva om ab(a^2-b^2) på något sätt?
Tack!
Jag kan ju skriva om det som ab(a-b)(a+b). Men därifrån vet jag inte hur jag kan ta mig vidare.
Vad gäller för tal som är delbara med 6?
Att talet är delbart med både 2 och 3.
1. Börja med att använda konjugatregeln baklänges på parentesen. Då får du en produkt med fyra faktorer.
Om du kan visa att en faktor måste vara delbar med 2 och en måste vara delbar med 3 är du hemma.
Vad gäller om för de olika faktorerna om a och b är jämna/udda? Vad gäller om a respektive b har resten 0, 1 eller 2 vid division med 3? Undersök alla möjligheter!
Vad krävs då av ab, (a+b) och (a-b)?
2. Du har att där n är ett positivt heltal.
Testa att kvadrera båda led och lösa ut p. Du kan då få fram en produkt. Vad måste gälla för den?
Hej!
Om vi vill visa att ab(a^2 - b^2) = ab(a+b)(a-b) är delbart med 6 måste vi visa följande:
Att produkten alltid är delbar med 3 och att produkten alltid är delbar med 2.
VI kan visa delbartheten med 2 ganska simpelt.
Om något av talen "a" eller "b" är jämnt har vi en jämn faktor i (ab) så då är produkten delbar med två.. alltså antager vi att vi har ett fall där både "a" och "b" är udda.
Vi tänker oss att vi skriver dom på formen a = 2k +1 , b = 2p + 1 ( där k och p är godtyckliga heltal ).
Vi kan nu kolla på faktorn (a+b):
(a+b) = 2k + 1 + 2p + 1 = 2k + 2p + 2 = 2(k+p+1)
Okej, så vi ser att om "a" och "b" är udda, då kommer garanterat faktorn (a+b) vara jämn, vilket innebär att produkten blir delbar på 2.
För att visa delbarhet med 3 är det rimligt att använda divissionsatsen.
Antag att både "a" och "b" är två heltal som inte är delbara med 3. ( Annars är vi klara redan )
Då gäller vidare att vi kan skriva dom som:
(1) a = 3k + 1 eller (2) a = 3k + 2
(1) b = 3p + 1 , eller (2) b = 3p + 2
Ponera nu att vi har ett tal på form 1 och ett tal på form 2.
Produkten som erhålles blir: (3k + 1)(3p+2)(3k + 1 + 3p + 2)(3k + 1 - 3p - 2) =
(3k+1)(3p+2)(3k +3p + 3)(3k - 3p - 1) = (3k+1)(3p+2)3(k+p+1)(3k-3p-1)
Eftersom vi kunde bryta ut en trea ser vi att om detta är fallet så måste produkten vara delbar med 3.
Undersök själv vad som händer ifall vi har två tal på form (1) eller två tal på form (2), kan vi även då bryta ut en trea?, isf vet vi att oavsett vad så är produkten delbar på tre!
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Det gäller att .
Kvadrering ger att: 5p + 49 = n^2.
Omskrivning: 5p = n^2 - 49 = (n+7)(n-7).
Vi kan antaga att "n" är positivt och samt att (n+7),(n-7) är positiva faktorer.
Eftersom både 5 och "p" är primtal kan vi inte göra någon primtalsfaktorisering, utan detta är enda sättet att skriva det som!
Då gäller antingen att (n+7)(n-7) = 5*p eller att (n+7)(n-7) = 1*(5p)
Det är självklart att eftersom "n" är positivt så kommer (n+7) > 5 > 1 varpå det gäller att (n-7) måste vara 1 eller 5.
Alltså får vi dessa fall:
(1) (n-7) = 1 och (n+7) = 5p
(2) (n-7) = 5 och (n+7) = p
Vad får du fram om du löser dessa fall?
