Delbarhet och induktion

Hej!

Uppgiften lyder:

"Visa att $(a - b) (a^{n} - b^{n}), a, b, c \in Z^{+}$ "

Mitt svar:

n = 1 => a^n - b^n = a - b <=> $(a - b) (a - b)$ , det vill säga att formeln gäller för n = 1

Antagande: $(a - b) (a^{p} - b^{p}) \Leftrightarrow a^{p} - b^{p} = (a - b) m, m \neq 0, m \in Z$

Påstående: $a^{p + 1} - b^{p + 1} = (a - b) k, k \neq 0, k \in Z$

Bevis: VL = $a^{p + 1} - b^{p + 1} = a a^{p} - b b^{p} = a (b^{p} + (a - b) m) - b (a^{p} - (a - b) m) = = a b^{p} + a m (a - b) - b a^{p} + b m (a - b) = = (a - b) (a m - b m) + a b^{p} - b a^{p}$

Hur bryter man ut faktorn (a - b) från termerna ab^p - ba^p ??

Hej!

Du kan skriva uttrycket $a^{p+1} - b^{p+1}$ som

Error converting from LaTeX to MathML

och induktionsantagandet ger

$\displaystyle (a-b)a^{p} + b(a^{p}-b^{p}) = (a-b)a^{p} + b(a-b)m = (a-b)k\ ,$

där $k= a^{p}+bm$ är ett heltal.

Albiki

Du kan skriva uttrycket $a^{p+1}-b^{p+1}$ som

$\displaystyle aa^{p} - ba^{p} + ba^{p} - b^{p+1} = (a-b)a^{p}+b(a^{p}-b^{p})\ .$

Albiki skrev :
Hej!
Du kan skriva uttrycket $a^{p+1} - b^{p+1}$ som
Error converting from LaTeX to MathML
och induktionsantagandet ger
$\displaystyle (a-b)a^{p} + b(a^{p}-b^{p}) = (a-b)a^{p} + b(a-b)m = (a-b)k\ ,$
där $k= a^{p}+bm$ är ett heltal.
Albiki

Hej Albiki!

I detta fall visste man att (a - b) delar (a^n - b^n) och då antar jag att man ska försöka med vilket sätt som möjligt för att visa att det är sant (exempelvis när du adderade med -ba^p + ba^p = 0). Men om uppgiften hade varit att "Visa om (a - b) delar (a^n - b^n)" så skulle ju det inte gå att tänka på att addera faktorer som blir sammanlagt noll för att kunna bryta ut (a - b) samtidigt som man måste väl vara säker på att det verkligen är så att (a - b) delar (a^n - b^n).

Därför undrar jag om man kan bryta ut (a - b) ur termerna ab^p - ba^p eftersom jag aldrig tänkte på att lägga till termer som blir noll i slutändan??? Jag vill inte sitta i ett prov och fundera "vilka tricks ska jag använda nu för att bevisa eller motbevisa ett påstående är sant" om det inte ens skulle stå om det är sant (Förstår du vad jag menar? det blir ju väldigt jobbigt och ohållbart om man måste tänka på två fall som kan innehålla flera matematiska tricks annars går det ej att lösa :(

Kombinatorik skrev :
Albiki skrev :
Hej!
Du kan skriva uttrycket $a^{p+1} - b^{p+1}$ som
Error converting from LaTeX to MathML
och induktionsantagandet ger
$\displaystyle (a-b)a^{p} + b(a^{p}-b^{p}) = (a-b)a^{p} + b(a-b)m = (a-b)k\ ,$
där $k= a^{p}+bm$ är ett heltal.
Albiki
Hej Albiki!
I detta fall visste man att (a - b) delar (a^n - b^n) och då antar jag att man ska försöka med vilket sätt som möjligt för att visa att det är sant (exempelvis när du adderade med -ba^p + ba^p = 0). Men om uppgiften hade varit att "Visa om (a - b) delar (a^n - b^n)" så skulle ju det inte gå att tänka på att addera faktorer som blir sammanlagt noll för att kunna bryta ut (a - b) samtidigt som man måste väl vara säker på att det verkligen är så att (a - b) delar (a^n - b^n).
Därför undrar jag om man kan bryta ut (a - b) ur termerna ab^p - ba^p eftersom jag aldrig tänkte på att lägga till termer som blir noll i slutändan??? Jag vill inte sitta i ett prov och fundera "vilka tricks ska jag använda nu för att bevisa eller motbevisa ett påstående är sant" om det inte ens skulle stå om det är sant (Förstår du vad jag menar? det blir ju väldigt jobbigt och ohållbart om man måste tänka på två fall som kan innehålla flera matematiska tricks annars går det ej att lösa :(

Hej!

Jag förstår inte vad du menar. Det gäller att komma på ett sätt så att man kan använda induktionsantagandet för att visa att $(a-b)$ delar $a^{p+1}-b^{p+1}.$ Vissa sätt är eleganta och andra är mindre eleganta, men det spelar inte någon roll så länge som de fyller sin funktion.

En annan metod än den jag använde är att använda den Generella Konjugatregeln för att direkt visa att $(a-b)$ delar $a^{p+1}-b^{p+1}$ , utan att behöva åberopa något induktionsantagande.

Ytterligare en metod är att använda Lagranges Medelvärdessats på den deriverbara funktionen $f(x) = x^{p+1}$ , vars derivata är $(p+1)x^{p}$ , för att direkt dra slutsatsen att om $a$ och $b$ och $p$ är heltal så delar $(a-b)$ talet $a^{p+1}-b^{p+1}.$

Att sitta på ett prov och inte kunna särskilt många matematiska satser och matematiska metoder och kräva att man ska klara provet är att begära för mycket. Ju mer matematik man lär sig, desto fler matematiska verktyg får man i sin låda. Det handlar sällan om att uppfinna nya lösningsmetoder, utan snarare om att känna igen den väsentliga strukturen hos ett problem och veta vilka av ens verktyg som skulle kunna användas för att lösa det aktuella problemet. Med andra ord, övning ger färdighet.

Albiki

Svara

Visa senaste svar