Delbarhet bevis: Visa att om 4|(a-1) så gäller inte 8|((a^2)+3)

Tja. Jag har lite svårt för bevis med delbarhet. Vet inte riktigt hur man ska börja och uppgifterna i boken saknar facit. I exemplet har de gjort motsägelsebevis. Jag har försökt lösa uppgiften som följande:
1. Vi vet att 4|(a-1), dvs 4 delar a-1.

2. Vi antar då att 8 delar ( $a^{2}$ +3) ... (detta är en motsägelse)

3. Enligt lärd sats ska då 8 dela BÅDE $a^{2}$ och 3.

så: 8| $a^{2}$ $.$ Även $8 | 3 . V i v e t d o c k a t t 8 i n t e k a n d e l a 3, 8 > 3 s å d e t k o m m e r i n t e r e s u l t e r a i e t t h e l t a l . D ä r f ö r k a n i n t e 8 | (a^{2} + 3) g ä l l a . V S V$

Har jag tänkt rätt i den här lösningen? Borde jag bevisa att a^2 inte delas av 8 också eller räcker det att säga att 8 inte delar 3?

Jag förstår hur du tänker men det är inte riktigt korrekt. Om du t.ex. har denna,

$\frac{5 + 3}{8}$

Då gäller inte 8|5 eller 8|3, men 5+3= 8 och 8|8. Så du måste angripa problemet på ett annat sätt

Groblix skrev:
Jag förstår hur du tänker men det är inte riktigt korrekt. Om du t.ex. har denna,

$\frac{5 + 3}{8}$

Då gäller inte 8|5 eller 8|3, men 5+3= 8 och 8|8. Så du måste angripa problemet på ett annat sätt

Kan man säga att om 4|(a-1) Så kommer ${(a - 1)}^{2} a t t g ä l l a ?$

Du kan börja med att konstatera att utifrån 4|(a-1) måste a kunna skrivas som,
$a = 5 + 4 n, n \in ℤ$ .

Då gäller att,

$a^{2} + 3 = {(5 + 4 n)}^{2} + 3 = 16 n^{2} + 40 n + 28$

Kommer du vidare? :)

Groblix skrev:
Du kan börja med att konstatera att utifrån 4|(a-1) måste a kunna skrivas som,
$a = 5 + 4 n, n \in ℤ$ .

Då gäller att,

$a^{2} + 3 = {(5 + 4 n)}^{2} + 3 = 16 n^{2} + 20 n + 28$

Kommer du vidare? :)

jahaaa. Yes, det känns rimligt. Men (5+4n)^2 + 3 = 16n^2 +40n +28. Det där värdet för a får man alltså om man funderar och säger att a måste vara 5 +4n där n är heltal, för att om n = 0 måste 4 ändå dela a, dvs 5-1, som är 4. Mm det är nytt för mig men makear sense.

men vad gör jag med n när jag har löst ut det?

det ger att n är ett icke-reellt tal.

Notera att de två första termerna är delbara med 8, men inte den sista (28).

PATENTERAMERA skrev:
Notera att de två första termerna är delbara med 8, men inte den sista (28).

jaha ok förstår. Hade det dugit som motivering på tex tenta? Att om en av termerna inte är delbar med 8 så är hela uttrycket inte det och därför stämmer inte påståendet

Jag skulle göra ett motsägelsebevis.

Visa att antagandet att uttrycket är delbart med 8 skulle leda till en motsägelse.

$n \in ℤ$ betyder att n är ett heltal. Negativt, noll eller positivt. T.ex. om n=-1 får du a=1. Dvs. 4|0 vilket fungerar. n=-2 ger a=-3. 4|-4 vilket också funkar osv.

Nu kan du däremot se att om du kan bryta ut en faktor 8 ur uttrycket är det delbart med 8:

$16 n^{2} + 40 n + 28 = 8 (2 n^{2} + 5 n + 3) + 4$

Det går inte eftersom 28 inte är delbart med 8. Du får alltid en rest 4.

Notera tidigare diskussion:
Om 8|a+b där både a och b är större eller lika med 8, då måste en faktor 8 kunna brytas ur både a och b.

Groblix skrev:
Nu kan du däremot se att om du kan bryta ut en faktor 8 ur uttrycket är det delbart med 8:

$16 n^{2} + 40 n + 28 = 8 (2 n^{2} + 5 n + 3) + 4$

Det går inte eftersom 28 inte är delbart med 8. Du får alltid en rest 4.

Notera tidigare diskussion:
Om 8|a+b där både a och b är större eller lika med 8, då måste en faktor 8 kunna brytas ur både a och b.

hmm okej fattar! tack för hjälpen :)

Svara

Visa senaste svar