Delbarhet bevis

Hej!

Jag har precis löst en uppgift men har inte facit på den och därför ville jag bara se om jag gjort rätt.

Uppgiften lyder: "Låt a,b,x,y vara heltal. Visa att om ax+by är delbart med x+y, så är även bx+ay delbart med x+y."

Min lösning är följande: $\frac{a x + b y}{x + y} = n \Leftrightarrow a x + b y = n (x + y) \Leftrightarrow a x + b y = n x + n y \Rightarrow a = b$

Efter detta resonerade jag att eftersom a=b så måste ax+by=bx+ay och därför är det också delbart med x+y.

Är detta resonemanget korrekt?

Tack!

Nej, a = b behöver inte vara sant. T. ex. delas $1\cdot 2 + 4\cdot 1$ av $2 + 1$ .

Laguna skrev:
Nej, a = b behöver inte vara sant. T. ex. delas $1\cdot 2 + 4\cdot 1$ av $2 + 1$ .

Det är ju sant! Men var i mitt resonemang har jag gjort fel? För själv ser jag inte felet...

Det du bevisar är att om sambandet gäller för alla x och y, så måste a och b vara lika.

Men det behöver inte gälla för alla x och y här.

Laguna skrev:
Det du bevisar är att om sambandet gäller för alla x och y, så måste a och b vara lika.
Men det behöver inte gälla för alla x och y här.

Ska jag göra beviset genom att bara välja slumpmässigt x- och y-värde?

Flyttade din tråd från Matematik / Bevis (som endast är till för "färdiga" bevis, inte bevis du behöver hjälp med) till Matematik /Universitet, med tanke på var dina andra trådar ligger. Om du lägger dina trådar på rätt nivå så underlättar det för oss som svarar, så att vi vet vad du redan känner till. /moderator

$\frac{a x + b y}{x + y} = n$ är en bra start. Testa att lägga till det du ska bevisa och se om du kan faktorisera på ett skönt sätt.

Visa spoiler

$\frac{a x + b y + b x + a y}{x + y} = \frac{(a + b) (x + y)}{(x + y)}$

TheDovah skrev:
Laguna skrev:
Det du bevisar är att om sambandet gäller för alla x och y, så måste a och b vara lika.
Men det behöver inte gälla för alla x och y här.
Ska jag göra beviset genom att bara välja slumpmässigt x- och y-värde?

Inte specifika x och y, det ska ju gälla alla x och y som det ursprungliga påståendet gäller för, och det är oändligt många.

Prova om det händer nåt kul om du lägger ihop uttrycken ax+by och bx+ay.

cjan1122 skrev:
$\frac{a x + b y}{x + y} = n$ är en bra start. Testa att lägga till det du ska bevisa och se om du kan faktorisera på ett skönt sätt.

Visa spoiler
$\frac{a x + b y + b x + a y}{x + y} = \frac{(a + b) (x + y)}{(x + y)}$

Så det du gör här är att du använder faktumet att ax+by är kongruent med 0 mod(x+y)?

Smart!

Svara

Visa senaste svar