Delbarhet1
Hej! Jag behöver hjälp med påbörjandet av uppgiften ovan. Jag ser att 7, 11 och 13 är alla primtal. Men förstår inte riktigt hur jag ska hantera talet abcabc, inte helt med på vad det talet betyder. Tack!
Gissning:
Det är ett sex-siffrigt tal med siffrorna a , b och c,
där alla ligger mellan 0 och 9
(eller kanske a mellan 1 och 9).
abcabc=a x 10^ 5 + b x 10^4 + c x 10^3 + a x 10^2 + b x 10^1 + c =a x( 10^5+10^2 )+b x( 10^4+10^1 ) + c x( 10^3+1 )
Du behöver analysera varje term och bestäma restermen. Till exemple för 11
10^5+10^2=11p+ (-1)^5+(-1)^2=11p-1+1=11p
På samma sätt är ( 10^4+10^1 ) och ( 10^3+1 ) delbara med 11 så hella talet abcabc är delbart med 11
Davitk skrev:abcabc=a x 10^ 5 + b x 10^4 + c x 10^3 + a x 10^2 + b x 10^1 + c =a x( 10^5+10^2 )+b x( 10^4+10^1 ) + c x( 10^3+1 )
Du behöver analysera varje term och bestäma restermen. Till exemple för 11
10^5+10^2=11p+ (-1)^5+(-1)^2=11p-1+1=11p
På samma sätt är ( 10^4+10^1 ) och ( 10^3+1 ) delbara med 11 så hella talet abcabc är delbart med 11
Okej, jag förstår mycket bättre nu.
Tack så mycket för ditt svar!
abcabc=1001*abc
Smutsmunnen skrev:abcabc=1001*abc
Hur får du 1001?
Davitk skrev:abcabc=a x 10^ 5 + b x 10^4 + c x 10^3 + a x 10^2 + b x 10^1 + c =a x( 10^5+10^2 )+b x( 10^4+10^1 ) + c x( 10^3+1 )
Du behöver analysera varje term och bestäma restermen. Till exemple för 11
10^5+10^2=11p+ (-1)^5+(-1)^2=11p-1+1=11p
På samma sätt är ( 10^4+10^1 ) och ( 10^3+1 ) delbara med 11 så hella talet abcabc är delbart med 11
Kan du snälla förklara lite mer varför 10^5+10^2 = 11p + (-1)^5 + (-1)^2
Jag förstår inte varför man sätter in -1 och varför det blir 11p + allt det andra och inte bara 11p?
Sar_ah skrev:Smutsmunnen skrev:abcabc=1001*abc
Hur får du 1001?
abcabc = abc000 + abc
abc000 = abc*1000
Davitk skrev:abcabc=a x 10^ 5 + b x 10^4 + c x 10^3 + a x 10^2 + b x 10^1 + c =a x( 10^5+10^2 )+b x( 10^4+10^1 ) + c x( 10^3+1 )
Du behöver analysera varje term och bestäma restermen. Till exemple för 11
10^5+10^2=11p+ (-1)^5+(-1)^2=11p-1+1=11p
På samma sätt är ( 10^4+10^1 ) och ( 10^3+1 ) delbara med 11 så hella talet abcabc är delbart med 11
Hej igen! Jag undrade när jag sedan analyserar termerna för 7 och 13 ska då kongruensen stå som (-7) respektive (-13) eller tänker jag fel? Alltså vad jag sätter in istället för 10^ i mina olika termer. Tack!
Sar_ah skrev:Davitk skrev:abcabc=a x 10^ 5 + b x 10^4 + c x 10^3 + a x 10^2 + b x 10^1 + c =a x( 10^5+10^2 )+b x( 10^4+10^1 ) + c x( 10^3+1 )
Du behöver analysera varje term och bestäma restermen. Till exemple för 11
10^5+10^2=11p+ (-1)^5+(-1)^2=11p-1+1=11p
På samma sätt är ( 10^4+10^1 ) och ( 10^3+1 ) delbara med 11 så hella talet abcabc är delbart med 11
Hej igen! Jag undrade när jag sedan analyserar termerna för 7 och 13 ska då kongruensen stå som (-7) respektive (-13) eller tänker jag fel? Alltså vad jag sätter in istället för 10^ i mina olika termer. Tack!
Hej. Jag rekommenderar dig att kolla lösningen som gavs av Smutsmunnen och sen Laguna. Det är mycket enklare. Nämligen notera att abcabc = abc x 1000 + abc=abc (1000+1)=1001 x abc
1001 är delbart med 7, 11 och 13
Talet "abc" är ett tal med a som hundratalssiffra, b som tiotalssiffra och c som entalssiffra. Talet "abcabc" är ett tal med a som hundratusentalssiffra och hundratalssiffra, b som tiotusentalssiffra och tiotalssiffra samt c som tusentalssiffra och entalssiffra. Att talet "abc" blir "abcabc" om man multiplicerar det med 1001 kan man t ex visa med en uppställning. Hur man kommer på idén att 1001 är produkten av talen 7, 11 och 13 vet jag inte - möjligen kan det vara ganska naturligt med tanke på uppgiftens formulering att undersöka vilket värde denna produkt har.
Tankegången är väl den omvända.
Ett tal är delbart med 7,11 och 13 om och endast om det är delbart med 7*11*13=1001. När man väl formulerar om frågan som "Visa att talet abcabc är delbart med 1001" så är faktoriseringen enkel att se.
Davitk skrev:Sar_ah skrev:Davitk skrev:abcabc=a x 10^ 5 + b x 10^4 + c x 10^3 + a x 10^2 + b x 10^1 + c =a x( 10^5+10^2 )+b x( 10^4+10^1 ) + c x( 10^3+1 )
Du behöver analysera varje term och bestäma restermen. Till exemple för 11
10^5+10^2=11p+ (-1)^5+(-1)^2=11p-1+1=11p
På samma sätt är ( 10^4+10^1 ) och ( 10^3+1 ) delbara med 11 så hella talet abcabc är delbart med 11
Hej igen! Jag undrade när jag sedan analyserar termerna för 7 och 13 ska då kongruensen stå som (-7) respektive (-13) eller tänker jag fel? Alltså vad jag sätter in istället för 10^ i mina olika termer. Tack!
Hej. Jag rekommenderar dig att kolla lösningen som gavs av Smutsmunnen och sen Laguna. Det är mycket enklare. Nämligen notera att abcabc = abc x 1000 + abc=abc (1000+1)=1001 x abc
1001 är delbart med 7, 11 och 13
Hur kommer man fram till att abcabc = abc X 1000 + abc ?
Det jag kommer fram till är att abcabc = 1001 X (ax100 + bx10 + c) hur tar jag mig vidare?
Sar_ah skrev:Davitk skrev:Sar_ah skrev:Davitk skrev:abcabc=a x 10^ 5 + b x 10^4 + c x 10^3 + a x 10^2 + b x 10^1 + c =a x( 10^5+10^2 )+b x( 10^4+10^1 ) + c x( 10^3+1 )
Du behöver analysera varje term och bestäma restermen. Till exemple för 11
10^5+10^2=11p+ (-1)^5+(-1)^2=11p-1+1=11p
På samma sätt är ( 10^4+10^1 ) och ( 10^3+1 ) delbara med 11 så hella talet abcabc är delbart med 11
Hej igen! Jag undrade när jag sedan analyserar termerna för 7 och 13 ska då kongruensen stå som (-7) respektive (-13) eller tänker jag fel? Alltså vad jag sätter in istället för 10^ i mina olika termer. Tack!
Hej. Jag rekommenderar dig att kolla lösningen som gavs av Smutsmunnen och sen Laguna. Det är mycket enklare. Nämligen notera att abcabc = abc x 1000 + abc=abc (1000+1)=1001 x abc
1001 är delbart med 7, 11 och 13
Hur kommer man fram till att abcabc = abc X 1000 + abc ?
Det jag kommer fram till är att abcabc = 1001 X (ax100 + bx10 + c) hur tar jag mig vidare?
Du kan titta på ett exempel. Om abcabc=134134 då har du
134134=134000+134=134x1000 + 134=134 x(1000+1)=134 x 1001
Sar_ah skrev:Davitk skrev:Sar_ah skrev:Davitk skrev:abcabc=a x 10^ 5 + b x 10^4 + c x 10^3 + a x 10^2 + b x 10^1 + c =a x( 10^5+10^2 )+b x( 10^4+10^1 ) + c x( 10^3+1 )
Du behöver analysera varje term och bestäma restermen. Till exemple för 11
10^5+10^2=11p+ (-1)^5+(-1)^2=11p-1+1=11p
På samma sätt är ( 10^4+10^1 ) och ( 10^3+1 ) delbara med 11 så hella talet abcabc är delbart med 11
Hej igen! Jag undrade när jag sedan analyserar termerna för 7 och 13 ska då kongruensen stå som (-7) respektive (-13) eller tänker jag fel? Alltså vad jag sätter in istället för 10^ i mina olika termer. Tack!
Hej. Jag rekommenderar dig att kolla lösningen som gavs av Smutsmunnen och sen Laguna. Det är mycket enklare. Nämligen notera att abcabc = abc x 1000 + abc=abc (1000+1)=1001 x abc
1001 är delbart med 7, 11 och 13
Hur kommer man fram till att abcabc = abc X 1000 + abc ?
Det jag kommer fram till är att abcabc = 1001 X (ax100 + bx10 + c) hur tar jag mig vidare?
ax100 + bx10 + c är faktisk detsamma som abc
Davitk skrev:Sar_ah skrev:Davitk skrev:Sar_ah skrev:Davitk skrev:abcabc=a x 10^ 5 + b x 10^4 + c x 10^3 + a x 10^2 + b x 10^1 + c =a x( 10^5+10^2 )+b x( 10^4+10^1 ) + c x( 10^3+1 )
Du behöver analysera varje term och bestäma restermen. Till exemple för 11
10^5+10^2=11p+ (-1)^5+(-1)^2=11p-1+1=11p
På samma sätt är ( 10^4+10^1 ) och ( 10^3+1 ) delbara med 11 så hella talet abcabc är delbart med 11
Hej igen! Jag undrade när jag sedan analyserar termerna för 7 och 13 ska då kongruensen stå som (-7) respektive (-13) eller tänker jag fel? Alltså vad jag sätter in istället för 10^ i mina olika termer. Tack!
Hej. Jag rekommenderar dig att kolla lösningen som gavs av Smutsmunnen och sen Laguna. Det är mycket enklare. Nämligen notera att abcabc = abc x 1000 + abc=abc (1000+1)=1001 x abc
1001 är delbart med 7, 11 och 13
Hur kommer man fram till att abcabc = abc X 1000 + abc ?
Det jag kommer fram till är att abcabc = 1001 X (ax100 + bx10 + c) hur tar jag mig vidare?
ax100 + bx10 + c är faktisk detsamma som abc
Jaaa juste ja, då abc = a*10^2 + b*10^1 + c*10^0
Jag hänger med, tack så mycket för all hjälp!
Lite onödig utvikning men jag insåg att det här kan utvecklas till en mer generell delbarhetsregel för 1001.
Talet abcdef är delbart med 1001 om och endast om abc-def är delbart med 1001.
Och mer generellt: Om man bildar alternerande summan av tre siffror i taget i ett tal,bakifrån, så är talet delbart med 1001 omm denna alternerande summa är det.
Exempel 1 : Vi bildar talet 1001*2021*2022= 4 090 548 462
Alternerande summan är : 462-548+90-4=0.
Exempel 2: Vi bildar talet 1001*3031*3033*12345= 113 601 356 803 935
Alternerande summan är: 935-803+356-601+113=0.
Hur bevisar man det: i bas 1000 kan man bevisa följande delbarhetsregel: om den alternerande summan av sifforna i ett tal är delbart med 1001 så är talet delbart med 1001. Beviset är helt analogt med hur man bevisar delbaretsregeln för 11 i bas 10. Översätter vi det från bas 1000 till 10 får vi precis regeln ovan.
Smutsmunnen skrev:Lite onödig utvikning men jag insåg att det här kan utvecklas till en mer generell delbarhetsregel för 1001.
Talet abcdef är delbart med 1001 om och endast om abc-def är delbart med 1001.
Och mer generellt: Om man bildar alternerande summan av tre siffror i taget i ett tal,bakifrån, så är talet delbart med 1001 omm denna alternerande summa är det.
Exempel 1 : Vi bildar talet 1001*2021*2022= 4 090 548 462
Alternerande summan är : 462-548+90-4=0.
Exempel 2: Vi bildar talet 1001*3031*3033*12345= 113 601 356 803 935
Alternerande summan är: 935-803+356-601+113=0.
Hur bevisar man det: i bas 1000 kan man bevisa följande delbarhetsregel: om den alternerande summan av sifforna i ett tal är delbart med 1001 så är talet delbart med 1001. Beviset är helt analogt med hur man bevisar delbaretsregeln för 11 i bas 10. Översätter vi det från bas 1000 till 10 får vi precis regeln ovan.
Tack så mycket för ditt utförliga svar!
