Delbarhet

Hej

Finns det någon matematisk formel där man kan räkna ut samtliga fall som uppfyller följande:

För vilka $n \geq 0$ är talet $n \times 2^{n} + 1$ delbart med 3?

Jag har räknat ut några tal som uppfyller delbarhet med 3 då jag satte n=1,2,7,8

Kan du modulo räkning?

Hej,ja det kan jag.

Då kan du formulera problemet som $n 2^{n} \equiv 2$ (mod3). Eftersom $2^{n}$ är 2 för udda n och 1 för jämna, så letar du efter udda n kongruenta med 1 och jämna n kongruenta med 2. Vilka är de?

jag är inte riktigt med på hur vi skriver om $n \times 2^{n} + 1$ till $n 2^{2} = 2$

Du har att du ska finna de n sådana att det gäller att

$2^{n} n + 1 \equiv 0 (m o d 3)$

Undersök vad som händer i varje enskild fall då n = 3k, 3k + 1 eller 3k + 2.

okej, då får jag att

n=3k ger $24 k^{2} + 1$

n=3k+1 ger $24 {(k + 1)}^{2} + 1$

n=3k+2 ger $24 {(k + 2)}^{2} + 1$

Jag ser att det enda som ändras för varje steg är konstanten inom parentesen.

Det ser inte ut som det där blev helt rätt, utan om det gäller att n = 3k så har man att

$2^{3 k} \cdot 3 k + 1 \equiv 2^{3 k} \cdot 0 \cdot k + 1 \equiv 0 + 1 \equiv 1 (m o d 3)$

Så ekvationen $2^{3 k} \cdot 3 k + 1 \equiv 0 (m o d 3)$ har uppenbart igen lösning. Om n = 3k + 1 så har man

$2^{3 k + 1} \cdot (3 k + 1) + 1 \equiv 2 \cdot (2^{3})^{k} \cdot (0 k + 1) + 1 \equiv 2 \cdot 8^{k} + 1 \equiv 2 \cdot 2^{k} + 1 (m o d 3)$

Så här får man försöka lösa ekvationen $2^{k + 1} + 1 \equiv 0 (m o d 3)$ , så lös denna. Sedan gör man liknande för n = 3k + 2.

jag är inte helt med på hur man ska lösa den, jag provade att sätta in olika värden på k och fick rest 0 vid k=0,2,4,6

Alltså ser jag att ekvationen går ihop för jämna tal på k

Du har alltså att

$2^{k + 1} \equiv (- 1)^{k + 1} (m o d 3)$

Man behöver inte göra så mycket mer än att konstatera att detta blir kongruent med -1 då k är jämnt. Så lösningarna är k = 2m för något helt m. Detta ger alltså lösningarna n = 3k + 1 = 6m + 1. Sedan får du de övriga lösningarna genom att lösa fallet då n = 3k + 2.

jag är med på k=2m och sätter vi m=2 skulle vi få k=4 och n=12+1=12+1 vilket alltså fungerar så det är jag med på. Det jag inte är helt med på är hur vi ska få fram svaret till fallet då n=3k+2 för att kunna ge ett slutligt svar till uppgiften.

Om vi har att n = 3k + 2 så gäller det att

$2^{3 k + 2} (3 k + 2) + 1 \equiv (- 1)^{3 k + 2} \cdot 2 + 1 \equiv (- 1)^{3 k + 3} + 1 \equiv (- 1)^{k + 1} + 1 (m o d 3)$

Så åter igen så har man att vi får lösningarna då k är jämnt. Detta innebär att n = 3k + 2 = 6m + 2. Så lösningarna är alltså

$n = 6 m + 1, e l l e r n = 6 m + 2$

Svara

Visa senaste svar