Delbarhet

Hej jag behöver hjälp med följande uppgift:

Vilket är det lägsta positiva heltal som dividerat med 2 är ett kvadrattal och dividerat med 3 är ett kubiskt tal?

fick detta som ledning:

om 2|a^3 -> 2|a

om 3|b^2 -> 3|b

jag började med att skriva att Z = 2b^2 och Z = 3a^3 där då Z är heltalet jag vill bestämma.

skrev sedan att 2b^2 = 3a^3 vilket gav att ((b^2)/3)) = ((a^3)/2))

Tänkte sedan att talet a måste vara delbart med 2 och talet b måsre vara delbart med 3 enligt tipset som gavs i uppgiften. Tänkte sedan att talet Z både måste vara delbart med 8 och 9, och eftersom dessa 2 tal är relativt prima, så måste talet Z vara delbart med 72. Då vet vi att siffersumman måste vara delbar med 9.

Längre än såhär kom jag inte. Hur ska jag tänka/fortsätta?

//Erika

Jag skulle rekommendera en ganska ful lösning. Eftersom du letar efter det minsta talet, är det en inte helt usel gissning att talet inte är så stort att det är bökigt att räkna med för hand (måste inte vara sant, men om vi börjar där så kan vi se var det tar oss). Du har kommit fram till att $2b^2=3a^3$ . Det innebär att $b^2$ måste vara delbart med tre, och $a^3$ måste vara delbart med två. Eftersom två och tre är primtal måste därmed a och b också vara delbara med dessa tal. Det ger att alternativen för a är 2, 4, 6, 8, 10... Och för b är 3, 6, 9, 12... Möjliga. Vad händer om du beräknar Z med dessa tal. Hittar du något som fungerar?

pepparkvarn skrev:
Jag skulle rekommendera en ganska ful lösning. Eftersom du letar efter det minsta talet, är det en inte helt usel gissning att talet inte är så stort att det är bökigt att räkna med för hand (måste inte vara sant, men om vi börjar där så kan vi se var det tar oss). Du har kommit fram till att $2b^2=3a^3$ . Det innebär att $b^2$ måste vara delbart med tre, och $a^3$ måste vara delbart med två. Eftersom två och tre är primtal måste därmed a och b också vara delbara med dessa tal. Det ger att alternativen för a är 2, 4, 6, 8, 10... Och för b är 3, 6, 9, 12... Möjliga. Vad händer om du beräknar Z med dessa tal. Hittar du något som fungerar?

Kan talet 648 vara rätt?

2 x 18^2 = 3 x 6^3

648 uppfyller detta, men det är inte det minsta talet. Gör en tabell! Vad är a? Vad blir $3a^3$ ? Vad är b? Vad blir $2b^2$ ?

$\begin{matrix} a & 3 a^{3} \\ 2 \\ 4 \\ 6 \\ 8 \\ 10 \end{matrix}$ och $\begin{matrix} b & 2 b^{2} \\ 3 \\ 6 \\ 9 \\ 12 \\ 15 \end{matrix}$ .

pepparkvarn skrev:
648 uppfyller detta, men det är inte det minsta talet. Gör en tabell! Vad är a? Vad blir $3a^3$ ? Vad är b? Vad blir $2b^2$ ?

$\begin{matrix} a & 3 a^{3} \\ 2 \\ 4 \\ 6 \\ 8 \\ 10 \end{matrix}$ och $\begin{matrix} b & 2 b^{2} \\ 3 \\ 6 \\ 9 \\ 12 \\ 15 \end{matrix}$ .

Hmmm hittar ändå inget mindre tal

Har du fyllt i tabellerna? Vilka tal får du?

pepparkvarn skrev:
Har du fyllt i tabellerna? Vilka tal får du?

Det visade sig att jag hade slarvat. Det stämmer! :)

Svara

Visa senaste svar