Delbarhet

Visa att

$6\left|\right(n^3-n)$för alla naturliga tal $n$.

Påbörjad lösning.

Skall visa att

$\frac{n^3-n}{6}$ går jämnt ut, dvs. ingen rest uppstår

Faktorisering av täljaren ger

$\frac{n(n+1)(n-1)}{6}$

Vi har nu alltså tre faktorer i täljaren:

$n, n+1, n-1$

Vi undersöker först för då $n$är udda och sedan jämnt:

1.  $n$ är udda:

Ger att både  $n+1$ och  $n-1$ är jämna.

2.  $n$ är jämnt

Ger att både  $n+1$ och  $n-1$ är udda

Ett udda tal kan skrivas som  $2k+1$ och ett jämnt som  $2m$ eller $2p$ där  m, k och p är heltal.

Fall 1 (n är udda):

Då fås  udda*jämnt*jämnt = jämnt , t.ex.

$(2k+1)\left(2m\right)\left(2p\right)$

Detta dividerat med 6 ger en förenklad kvot $\frac{2mp(2k+1)}{3}$ Frågan är nu hur jag skall visa att någon av faktorerna  $2mp$ eller  $2k+1$ är dividerbart med 3.