Delbarhet

Den summa som varierar är $x^7+x^6$. Om denna summa är jämn, blir talets helhet udda, eftersom ett jämnt tal plus ett blir ett udda tal. Om denna summa är udda, blir talets helhet jämn, eftersom ett udda tal plus ett blir ett jämnt tal. Titta på multiplikations- och additionsreglerna för jämna (j) och udda (u) tal:

$$\begin{gathered} j·j=j \\ u·u=u \\ j+j=j \\ u+u=j \end{gathered}$$

Vad händer om x är ett udda tal? Blir den varierande summan jämn eller udda? Vad händer om x är ett jämnt tal?

Hoppsan, fråga var, för vilka heltal är $x^{7}+x$ delbar med 2?

Jag ser... så x måste vara udda. I det första fallet multipliceras det 7 gånger med sig själv. Och i andra fallet blir det $(u \cdot u) *(u \cdot u) *(u \cdot u)$, dvs $j\cdot j \cdot j$...

$u·u=u$, inte jämnt. Om x är udda fås: $u^7+u=u+u=j$.

Om x är jämnt fås: $j^7+j=j+j=j$. Uttrycket blir alltså jämnt oavsett om x är udda eller jämnt. Det ger garanterad delbarhet med två.

Hej!

Det gäller att finna alla heltal ($x$) som är sådana att heltalet $x^7+x$ är delbart med $2$, det vill säga är ett jämnt tal.

• Om $x= 2n$ är ett positivt jämnt tal så är $x^7$ ett jämnt tal och då är $x^7 + x$ också ett positivt jämnt tal.
• Om $x = 2n+1$ är ett positivt udda tal så är $x^7$ också ett positivt udda tal och då är $x^7 + x$ ett positivt jämnt tal.

Hur blir det om $x$ är ett negativt heltal?

Albiki

Jag återkommer när jag har testat på papret, innan jag säger nåt fel(are än vanligt).

Nu är det fixat.

$$\begin{gathered} {\left(-2n\right)}^7+(-2n{)}^6+1 \\ -2^7{n}^7+-2^6{n}^6+1 \end{gathered}$$

jämn + jämn + udda= udda. Den är inte delbar med 2

Däremot med vet jag inte riktigt hur jag ska gå vidare!

${\left(-2n-7\right)}^7+{\left(-2n-7\right)}^6+1$

Edit: jag märkte att du skrev $x^{7}+x$. Menade du $x^{7}+x^{6}$, eller varifrån kommer sista x:an?

Vad får du sjuorna ifrån? I alla fall: Titta på vad som händer när du utvecklar de två parenteserna:

I den första (vänster) kommer alla termer att multipliceras minst en gång med två (från 2n), förutom den allra sista (7^7), vilket medför att alla termer blir jämna, utom den sista. 7^7 är ett udda tal. Jämna tal plus ett sista, udda tal ger ett udda tal. Detsamma gäller för den högra parentesen i VL. Två udda tal ger ett jämnt tal, och sedan en etta på det ger en udda summa. 

dajamanté skrev :

Hoppsan, fråga var, för vilka heltal är $x^{7}+x$ delbar med 2?

Jag ser... så x måste vara udda. I det första fallet multipliceras det 7 gånger med sig själv. Och i andra fallet blir det $(u \cdot u) *(u \cdot u) *(u \cdot u)$, dvs $j\cdot j \cdot j$...

Hej!

Du frågade varifrån jag fick att studera $x^7+x$. Det var från dig i inlägget jag citerar. 

Albiki

Smutstvätt skrev :

Vad får du sjuorna ifrån?

Från min slarv, jag ber om ursäkt!

Albiki skrev :

dajamanté skrev :

Hoppsan, fråga var, för vilka heltal är $x^{7}+x$ delbar med 2?

Jag ser... så x måste vara udda. I det första fallet multipliceras det 7 gånger med sig själv. Och i andra fallet blir det $(u \cdot u) *(u \cdot u) *(u \cdot u)$, dvs $j\cdot j \cdot j$...

Hej!

Du frågade varifrån jag fick att studera $x^7+x$. Det var från dig i inlägget jag citerar. 

Albiki

Nämen gud förlåt, det blev dubbelslarv på frågan.

Det var $x^7+x^6$.

Vad är svaret? (AKA *gnisslar patetiskt ''hjääääälp Pluggakuten jag har prov imorgon!''*)

Om man någon gång sett det där tricket så känner man igen det. Om du kan skriva något som $n*(n+1)*M$ där M är vilket heltal som helst, så vet du att det är ett jämnt tal, och om du kan skriva det som $(n-1)n(n+1)*M$ så vet du att det är både jämnt och delbart med tre, eftersom oavsett vad n är, så kommer antingen n eller n+1 att vara jämnt (innehålla en 2:a), och någon av (n-1), n och (n+1) kommer vara delbart med 3 (eller ha resten noll vid division med 3), så det finns 2 och tre som faktorer i det talet. I ditt fall kan du se att $x^6+x^7=x^6(x+1)$ är jämnt om x är jämnt, och jämnt om x+1 är jämt, så det är alltid jämnt. Därför... ja, jag låter dig sy ihop påsen själv.

Tack!

Så min tal är aldrig jämt...

(testar lösning...)

YEEEEESSSSS det var korrekt!

Tack PeBo!