Delay differential equations lösning

Jag försöker just nu att lösa följande problem:

$x^{'} (t) = x (t - 1)$ med historiefunktionen $x (t) = 1, \forall t \in [- 1, 0]$ .

Jag börjar med att lösa på intervallet $[0, 1]$ och får då

att för $t \in [0, 1]$ följer det att $- 1 \leq t \leq 0$ vilket ger att

$x' (t) = x (t - 1) = 1, t \in [0, 1]$

x(t) = $x (0) + \int_{0}^{t} 1 d s = 1 + t, t \in [0, 1]$ .

Så långt har jag kunnat lösa men det är nu i nästa steg som jag får problem.

För $t \in [1, 2]$ följer det att $0 \leq t - 1 \leq 1$ vilket ger

$x^{'} (t) = x (t - 1) = 1 + (t - 1)$ och det är när jag integrerar den som jag får ett annat svar än videon som jag har tittat på.

Jag löser det såhär :

$x (t) = x (1) + \int_{1}^{t} 1 + (s - 1) d s = 2 + \int_{1}^{t} s d s = 2 + \frac{t^{2}}{2} - \frac{1}{2}$

men när den i videon löser så får den :

$x (t) = 2 + t + \frac{t^{2}}{2}$ .

Jag vet inte om det är jag som inte har förstått hur man gör eller vad det är som blir fel. Men om det är någon som vill förklara hur man får fram det svaret skulle jag verkligen uppskatta det.

Vad är det för video du tittat på?
Kan du skicka en länk till den?

jarenfoa skrev:
Vad är det för video du tittat på?
Kan du skicka en länk till den?

Här är länken : https://www.youtube.com/watch?v=rds2YMYjKjg

Problemet börjar vid ungefär 24.20 och steget jag har fastnat på är vid ungefär 27.30

Att han i videon räknar fel är uppenbart.

Vid 27:30 använder han sig av att $x (1) = 2$
men hans slutgiltiga funktion är $x (t) = 2 + t + \frac{t^{2}}{2} \Rightarrow x (1) = \frac{7}{2} \neq 2$

Jag skulle hävda att felet han gör ligger i raden ovanför där han missat att:
$\int_{1}^{t} ϕ_{1} (s - 1) d s \neq \int_{0}^{t} ϕ_{1} (s) d s$

I praktiken gör han ett variabel byte men han justerar bara den undre gränsen
och glömmer att justera den övre. Det korrekta skulle vara att:
$\int_{1}^{t} ϕ_{1} (s - 1) d s = \int_{0}^{t - 1} ϕ_{1} (s) d s = \int_{0}^{t - 1} (1 + s) d s = {[s + \frac{s^{2}}{2}]}_{0}^{t - 1} = \frac{t^{2} - 1}{2}$

Ditt svar är alltså rätt.

Hans fortsättning påverkas av detta felet och blir därför också fel.
Tyvärr tillåter han inte kommentarer till videon.
Annars hade nog detta felet påpekats där för länge sen.

jarenfoa skrev:
Att han i videon räknar fel är uppenbart.

Vid 27:30 använder han sig av att $x (1) = 2$
men hans slutgiltiga funktion är $x (t) = 2 + t + \frac{t^{2}}{2} \Rightarrow x (1) = \frac{7}{2} \neq 2$

Jag skulle hävda att felet han gör ligger i raden ovanför där han missat att:
$\int_{1}^{t} ϕ_{1} (s - 1) d s \neq \int_{0}^{t} ϕ_{1} (s) d s$

I praktiken gör han ett variabel byte men han justerar bara den undre gränsen
och glömmer att justera den övre. Det korrekta skulle vara att:
$\int_{1}^{t} ϕ_{1} (s - 1) d s = \int_{0}^{t - 1} ϕ_{1} (s) d s = \int_{0}^{t - 1} (1 + s) d s = {[s + \frac{s^{2}}{2}]}_{0}^{t - 1} = \frac{t^{2} - 1}{2}$

Ditt svar är alltså rätt.

Hans fortsättning påverkas av detta felet och blir därför också fel.
Tyvärr tillåter han inte kommentarer till videon.
Annars hade nog detta felet påpekats där för länge sen.

Aha okej, då var det inte så konstigt att jag inte alls hängde med på hur han gjorde. Tack så mycket för hjälpen och att du tog dig tiden att titta på videon.

Svara

Visa senaste svar