definitionsmängd och värdemängd till invers funktion (envariabelanalys)

Inversen har jag fått till $f^{- 1} (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$

det jag inte hänger med på här är att det sägs att värdemängden till en invers är definitionsmängden till dens original alltså att $D_{f} = V_{f^{- 1}}$

men definitionsmängden för f(x) är alla x större än 0

hur hjälper det mig med värdemängden till inversen, jag kan ju inte säga att värdemängden till inversen är alla x större än 0? Eller att värdemängden är alla reella tal större än 0, för enligt graf finns negativa tal som inversen antar

hur ska man tänka/lösa det?

Du bör först bestämma definitionsmängden för inversen. Den skall vara värdemängden till f, dvs (1, $\infty$ ). Så när du skriver inversen så bör du skriva

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}, x \in (1, \infty)$ , och med hänsyn till detta så blir värdemängden till f^-1 just definitionsmängden till f.

Definitionsmängden till inversen är lika med värdemängden till din funktion, och inversens värdemängd är lika med funktionens definitionsmängd.

Inversens definitionsmängd: Värdemängden av f(x) är $[0,\infty)$ , eftersom vi har ett rottecken. Det innebär att definitionsmängden av $f^{-1}(x)$ är $(0,\infty)$ . :)

EDIT: Värdemängden är $(1,\infty)$

Vad är definitionsmängden till f^-1?

En funktion måste vara bijektiv (injektiv och surjektiv) för att vara inverterbar.

f(x) är inte bijektiv för alla x som tillhör de reella talen, därför begränsas f(x) till x>0 vilket gör den bijektiv.

Detta medför att vi får en invers där värdemängden är densamma som definitionsmängden för f(x)

Visserligen antar f^-1(x) även negativa tal, men detta då x är inom intervallet (-1,1) vilket inte ingår i värdemängden för f(x)

f^-1(x) måste därmed ges värdemängden f^-1(x)>0 för att den ska vara inverterbar.

tack för alla tips jag ska se om jag har förstått det rätt:

jag ska försöka sammanfatta det jag har förstått:

1. kolla definitionsmängden till f(x) som är (1, oändligheten), det vet vi eftersom att då x -> får vi oändlighet och när x-->oändlighet går vi mot 1. så värdemängden till f är (1, oändlighet)

2. beräknar invers som är $f^{- 1} (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$ där x > 1 (eftersom värdemängden till f är det)

3. vad gör jag nu? jag har en invers där jag har definitionsmängd som är x > 1. jag ska alltså ta fram värdemängden nu? såhär eller: x--> oändligheten ger 0 och när x-->1 får vi oändligheten

så värdemängden till inversen är alltså (0, ändligheten) och definitionsmängd x>1 ?

Ja. Du kan kanske nämna först att du vet att det finns en invers eftersom f är strikt avtagande och därför injektiv (ett-till-ett).

Det blandas fritt bland definitionsmängder och värdemängder här. Df=(0, oo) enligt uppgiften.

Värdemängden får jag till (1,oo) som Mare.

För inversen är det bara att byta plats på dem.

tack för hjälpen alla!

Svara

Visa senaste svar