Definitionsmängd och kvadratrötter

Man kan inte prata om någon definitionsmängd för en ekvation, det finns ingen sådan. Definitionsmängder är något man har för funktioner och inte ekvationer.

Man kan däremot se vilka x som potentiellt skulle kunna vara relevanta för ekvationen. Din föreläsare använder ett sätt för att bestämma vilka x som potentiellt är intressanta, och du använder ett annat sätt. Din föreläsares sätt utesluter fler irrelevanta x än det sättet du använde dig av vilket gör att det är lättare att utesluta $x_1$ som rot. Eftersom det inte finns något som kallas för definitionsmängd när det kommer till ekvationer så är inget av sätten fel.

Att det gäller att $\frac{5 - \sqrt{13}}{6}$ kan man se från att $2 < \sqrt{13}="">< 5="" \leftrightarrow="" 4="">< 13=""><>$, vilket alltså innebär att $\frac{5 - 5}{6} = 0 < \frac{5="" -="" \sqrt{13}}{6}="">< \frac{5="" -="" 2}{6}="">$.

Eftersom latexen buggade ur och redigera funktionen lika så så skriver jag ett nytt inlägg istället.

Att det gäller att $\frac{5 - \sqrt{13}}{6}<\frac{1}{2}$ följer av att $2 < \sqrt{13}<5 \iff 4<13<25$, vilket alltså innebär att $\frac{5-5}{6}=0<\frac{5-\sqrt{13}}{6}<\frac{5-2}{6}=\frac{1}{2}$

Nu fattar jag inte riktigt vad du menar när du säger att ekvationen saknar definitionsmängd. Ekvationen är ju inte definierad förutom just i $D_f= (-\infty ,-1] \cup [0,\infty )$.

Anledningen att jag reagerar så starkt på föreläsarens metod är just att det (i min mening) ingenting som säger att högerledet i ekvationen (dvs efter omskrivning 1-2x) skulle vara större än noll. Alltså känns det skumt att hävda att x måste vara mindre än 1/2.

Han säger ju egentligen att $\sqrt{x^2+x} \ge 0$ vilket inte känns rätt. Jag menar, vi kan ju ha ett negativt tal som är lika med roten ur någonting eftersom det är en ekvation vi löser och inte ser på defintionen av kvadratrot (som jag vet innebär att roten ur ett tal alltid är det positiva talet vars kvadrat är lika med talet).

Nyttjandet av ordet definitionsmängd är här lite konstigt både från dig och föreläsaren då man generellt talar om definitionsmängder till funktioner och blir underdefinierat när man försöker applicera det på ekvationer.

Vad ni rent praktiskt försöker uttrycka här är "en mängd inom vilken lösningarna måste ligga" men det är från den definitionen klart att en sådan mängd inte är unikt definierad. Den minsta sådana mängden är "mängden av lösningar" men skulle man  ha denna skulle problemet vara löst.

Detta förklarar varför ni kan ha olika svar, båda är bara hjälpmängder, även om ordet "definitionsmängd" här använd felaktigt.

Låt oss lite mer allmänt bryta ner strukturen hos den här typen av problem för att förstå varför vi gör vad vi gör.

1. Man börjar med ursprungsekvationen. Låt oss kalla den f(x) = 0. Det är inte möjligt att lösa denna ekvation genom direk inspektion.

2. Man konstruerar genom en serie implikationer en ny ekvation F(x) = 0 som man genrellt kallar hjälpekvationen

Den kritiska egenskapen hos denna ekvation är att om $x_0$ är en lösning till $f(x) = 0$ så är det även en lösning till $F(x) = 0$ så lösningsrummet till $F(x) = 0$ kommer garanterat att innehålla lösningarna, och vi kan kalla dessa för kandidatlösningar. Ekvationen $F(x) = 0$ kan dock ha lösningar som inte är lösningar till $f(x) = 0$. Vi kallar dessa för falska rötter.

Det viktiga är dock att alla lösningar till $f(x) = 0$ ligger i lösningsrummet till hjälpekvationen $F(x) = 0$ så man behöver inte oroa sig för att man missat någon om man löst den.

 3. Man löser hjälpekvationen.

4. I det sista steget så identifierar man vilka av lösningarna till $F(x) = 0$ som är lösningar till $f(x) = 0$. DETTA KAN GÖRAS PÅ FLERA OLIKA SÄTT.

4.1 Alternativ 1 är med kontroll. Man stoppar in talen man fick från $F(x) = 0$ i $f(x)$ och ser vilka som ger 0.

4.2 Alternativ 2 är med uteslutning. Man hittar ett antal kriterier som lösningarna till $f(x) = 0$ måste ha och ser om de gäller för kandidatlösningarna och utesluter de som inte har dessa egenskaper. Det är vad föreläsaren gjorde genom att hitta en "mängd som lösningarna måste ligga i"

Notera att detta endast kan användas för att avgöra om en lösning är falsk, inte om den är sann. Bara för att en lösning till $F(x) = 0$ ligger i en mängd som en lösning till $f(x) = 0$ måste ligga i så behöver det inte vara en riktig lösning. I rent strikt mening så har föreläsaren inte bevisat att $x_2$ är sann bara för att $x_1$ är falsk. Däremot så kan denna metod kombineras med principer såsom att ekvationen måste ha minst en lösning (tex via att det är en kontinuerlig funktion) och om man efter uteslutning bara får en lösning kvar så måste den vara en lösning till $f(x) = 0$

tarkovsky123_2 skrev :

Nu fattar jag inte riktigt vad du menar när du säger att ekvationen saknar definitionsmängd. Ekvationen är ju inte definierad förutom just i $D_f= (-\infty ,-1] \cup [0,\infty )$.

Jag säger inte bara att den saknar definitionsmängd. Jag säger att det inte ens finns ett begrepp som heter definitionsmängd när det kommer till ekvationer.

Jag antar att du tänker på funktionen $f\left(x\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}2x + \sqrt{x^2+x}$, dennes definitionsmängd är den du skriver. Men det är inte samma sak som att säga att ekvationen $2x + \sqrt{x^2+x}=1$ har den definitionsmängden. Det finns ingen ekvation som har en definitionsmängd, begreppet finns inte för ekvationer.

Utan det föreläsaren gör är att försöka se vilka x som omöjligen skulle kunna lösa ekvationen, det kan man ju göra på flera olika sätt. Så att från föreläsarens argument komma fram till att lösningen måste ligga inom $(\infty ,-1]\cup \left[0,\frac{1}{2}\right]$ säger inte på något sätt att funktionen $f\left(x\right)$ skulle ha denna definitionsmängd.

Jag tackar för era svar. Det var nog i brist på ord som jag använde definitionsmängd i sammanhanget.

På sättet man kan utesluta andra rötter genom att kontrollera ifall dem är eller inte är med i "mängden av lösningar" är jag helt på det klara med. Det som jag inte förstår är hur han kan säga att bara för att vi har ett rottecken, så måste det som står på andra sidan likhetstecknet vara positivt? Ur detta får han sedan att x i så fall måste vara mindre än 1/2.

Okej, kvadratroten är alltid positiv per definition. Om man då har att

$\sqrt{x^2+x}=1 - 2x$

så måste ju VL vara positiv. Om båda sidor ska vara lika så måste även HL vara positiv. HL är positiv om det gäller att

$1 - 2x \ge 0 \iff 1 \ge 2x\iff \frac{1}{2}\ge x$

Därför måste x vara mindre än 1/2 för att HL ska vara positiv.

Just det. Nu tror jag att jag fattar. Så om vi istället skulle lösa denna ekvation $$\begin{gathered} 2x - \sqrt{x^2+x} = 1 \Rightarrow -\sqrt{x^2+x} =1-2x \\ och \sqrt{x^2+x} \ge 0 (per definition) \\ \Rightarrow 1-2x \le 0 \end{gathered}$$

Eftersom kvadratroten, som funktion, per definition alltid är positiv (även om man i ekvationer kan "lägga till i efterhand" ett plus- eller minustecken).

Japp det där stämmer bra det.

Om jag nu testar att lösa en annan ekvation på detta sätt, ser min lösningsgång och motivering bra ut om jag gör på följande sätt:

$$\begin{gathered} 1 + \sqrt{x^2+5} = 2x \Rightarrow x^2+ 5 = (2x-1{)}^2 \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_1=2\\ x_2=-\frac{2}{3}\end{array}\right. \\ men \sqrt{x^2+5} = 2x-1 där \sqrt{x^2+5} \ge 0 per definition \Rightarrow \\ \Rightarrow 2x-1 \ge 0 \Rightarrow x\ge \frac{1}{2} \\ sök alltså lösningar s.a. x_{1,2} \in \mathbb{M} =\left[\frac{1}{2},\infty \right] \\ men då x_2 \notin \mathbb{M} \Rightarrow x_2 en falsk rot \end{gathered}$$

Det ser bra ut. Men tänk på att det bara gäller att $x_1 \in \mathbb{M}$ så betyder inte det nödvändigtvis att den löser ekvationen, åtminstone så skulle det behöva motiveras i sådana fall. Så det skadar ju inte att efter man konstaterat att $x_2$ inte är en lösning skriva något i stil med att "man ser att 2 löser ekvationen så därför är detta enda lösningen".

Precis. Tack för alla era svar!