Definitionsmängd och gränsvärde (Matematik/Matte 3)

Definitionsmängden består av alla x-värden där funktionen är definerad. En funktion är odefinerad i en punkt om nämnaren i funktionen är noll. För vilka x-värden är nämnaren lika med noll?

X=0

Det stämmer. Då har du kommit en bra bit på vägen vad gäller a-uppgiften.

Så på a)

Funktionens definitionsmängd består av alla reella tal x förutom x=0, eftersom nämnaren blir noll vid x=0.

hur gör man på b)?

Biorr skrev:
Så på a)

Funktionens definitionsmängd består av alla reella tal x förutom x=0, eftersom nämnaren blir noll vid x=0.

Ja, det stämmer

hur gör man på b)?

Titta på bråket, vad händer med täljaren då x går mot 0? Vad händer med nämnaren då x går mot 0?

Funktionen blir odefinierad. Går ej dividera med noll med denna uttrycka.

Så man bör försöka förenkla uttrycket

Ja, så kan du göra.

Vad händer med sista termen då x närmar sig 0 (obs, inte när x är 0)?

Om det känns krångligt kan du pröva dig fram på följande sätt.

Vad blir sista termen värde då

x = 0,001?
x = 0,00001?
x = 0,0000001?

Hur tror du att fortsättningen blir?

Den sista termen (1/(2•x))

blir större bara

behöver man inte få upp x i sista termen till täljaren?

Biorr skrev:
Den sista termen (1/(2•x))

blir större bara

Ja, den blir större och större ju närmare 0 x kommer. vilket betyder att uttryckets värde växer mer och mer ju närmare 0 x kommer.

Yttryckets värde går alktså mot oändligheten då x går mot 0 (från den positiva sidan).

Vad tror du händer om x går mot 0 från den negativa sidan?

Dvs om

x = -0,001
x = -0,00001
x = -0,0000001

och så vidare?

behöver man inte få upp x i sista termen till täljaren?

Nej du varken kan eller behöver få upp x till täljaren I sista termen. Det räcker med att enligt ovan se vad som händer då x går mot 0.

”Vad tror du händer om x går mot 0 från den negativa sidan?”

betyder det att funktionens värde blir negativt?

Pröva!

Sätt in

x = -0,001
x = -0,00001
x = -0,0000001

Ser du någon trend?

Biorr du har skrivit $\frac{1}{2} - \frac{1}{2 x} .$ Tänk dig att du byter x mot -0.005 då blir det $\frac{1}{2} - \frac{1}{- 0.01}$ eller +100.5 . Så grafen går mot $+ \infty$

Du blandar ihop det lite.

Då x går mot 0 från den positiva sidan (dvs "uppifrån") så:

Går termen $\frac{1}{2x}$ mot positiva oändligheten.
Går uttrycket $\frac{1}{2}-\frac{1}{2x}$ mot negativa oändligheten.

Då x går mot 0 från den negativa sidan (dvs "nerifrån") så:

Går termen $\frac{1}{2x}$ mot negativa oändligheten.
Går uttrycket $\frac{1}{2}-\frac{1}{2x}$ mot positiva oändligheten.

=======

Sammantaget har vi att gränsvärdet saknas. Är du med på det?

=======

Så här ser grafen till $y=\frac{1}{2}-\frac{1}{2x}$ ut: