Definitionsmängd, Målmängd och värdemängd

Hej, jag har helt och hållet fastnat på hur jag ska komplettera ett svar. Nedan finns bakgrundsinformationen samt hur jag har svarat på frågan jag har tagit bort de frågor som jag redan har klarat, men om de skulle behövas säg bara till så lägger jag till de. Samt vad som jag tydligen måste komplettera mitt svar med... All hjälp uppskattas, även om det är bara hur man ska tänka mm. Allt är i Latex kod för att göra det enklare att förstå.

Låt oss börja med att definiera $f:\mathbb{R} \to [-5,\infty[$ enligt $f(x) = \frac{2 \cos{\left(\pi x \right)}}{5} - 4 $, och $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ enligt $g(x) = \frac{3 x}{2}$. I den här inlämningsuppgiften ska vi studera den sammansatta funktionen $h$ av $f$ och $g$, vilken uppfyller $h(x)=f(g(x))$ för alla $x$ i dess definitionsmängd.

c) Skriv ut definitionsmängden och målmängden för $h$.
Svar c): c) Tittar vi först på vad som ges av bakgrunden till frågan får vi två funktioner vars definitionsmängd och målmängd förtydligas. De är funktionerna $f$ och $g$.
$g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$
$f:\mathbb{R} \to [-5,\infty[$
Av vad vi kan förstå av 3.2.1 i kurslitteraturen så betyder det alltså att funktionen $g$ har definitionsmängden($D_{g}$) $\mathbb{R}$ och målmängden $\mathbb{R}$ Då funktionen går från $\mathbb{R}$ till $\mathbb{R}$. Samma kan vi konstatera från $ƒ$ att den funktionen har $\mathbb{R}$ som definitionsmängd($D_{f}$) men den har en annan målmängd vilket är $[-5,\infty[$.

Där kan vi tyda att funktionen $g$ målmängd är samma som funktionen $f$ definitionsmängd, vilket är $D_{f}$ är $\mathbb{R}$. Om vi tar de element för $x$ som är element av $\mathbb{R}$ och sedan applicerar funktionen $g$ får vi ett element som är $y$ vilket i sin tur är ett element av $\mathbb{R}$. Om vi sedan applicerar funktionen $f$ på $y$ får vi $z$ som är ett element av $[-5,\infty[$. Således visar vi att funktionen $h$ går från $\mathbb{R}$ till $[-5,\infty[$, genom att det gäller att $h(x)=f(g(x))$.

Vi kan visa det ovan med matematiska symboler,
$g(x)= y ∈\mathbb{R}$
$g(x)= z ∈[-5,\infty$

$h: \mathbb{R} \to [-5,\infty[$
Funktionen $h$ definitionsmängd blir $\mathbb{R}$ och målmängd $[-5,\infty[$.

d) Bestäm värdemängden för $h$.
Svar d): Då alla värden i målmängden inte kan uppnås av definitionsmängden är värdemängden inte lika som målmängden. För att ta reda på värdemängden kollar vi närmare på $2\cos(\pi \frac{3x}{2})$. Denna del kan aldrig uppnå ett värde lägre än -2 och ett värde höre än 2, vilket vi vet sedan tidigare gäller av cos. Det betyder att värdemängden för $h$ kan inte vara ett värde högre eller lägre än värderna $\frac{-22 }{5}$ och $\frac{-18}{5}$, vilket blir vårt intervall för värdemängden. Vi vet även att av reglerna för $cos$ att värdemängden måste anta ett värde där y är ett element av $\mathbb{R}$, Således blir värdemängden för $h$ $[\frac{-22 }{5},\frac{-18}{5}| y ∈\mathbb{R}]$, det vill säga att alla reella värden som är eller ligger mellan $\frac{-22 }{5}$ och $\frac{-18}{5}$.

Stort tack på förhand för all hjälp!