Definitionsmängd/funktionslära

 

Hej!

 

Skulle behöva hjälp med ovanstående uppgifter. Kan jag få feedback på mina svar samt vägledning till de två sista delfrågorna skulle jag vara mycket tacksam.  Se mina svar nedan:

 

a) 

Vi vet att h(x) = f(g(x)). Således är h(x) = $\frac{2}{5}$sin (-$\frac{x⋅7⋅π}{2}$) + 5

__________________________________________________________

b) 

x = 3

h(3) = $\frac{2}{5}$sin (-$\frac{3⋅7⋅π}{2}$) + 5

h(3) = $\frac{2}{5}$sin (-$\frac{21π}{2}$) + 5

Vi utnyttjar symmetrin hos de trigonometriska funktionerna för att föenkla uttrycket sin (-$\frac{21π}{2}$):

sin (-$\frac{21π}{2}$) = -sin ($\frac{21π}{2}$)

-sin ($\frac{21π}{2}$) --> Nu hittar vi vinkeln i intervallet [0, 2π>, samterminal med $\frac{21π}{2}$ och får att -sin ($\frac{π}{2}$). Sedan beräknar vi uttrycket med hjälp av den trigonometriska värdetabellen och får att -sin ($\frac{π}{2}$) = -1.

Vidare ersätter vi med -1 och får att:

h(3) = $\frac{2}{5}$ ⋅ (-1) + 5

Multiplicering av ett positivt och ett negativt tal ger ett negativt tal:

h(3) = -$\frac{2}{5}$ + 5

Vi skriver nu om det som ett bråk och får att:

h(3) = -$\frac{2}{5}$ + $\frac{25}{5}$ = $\frac{23}{5}$

__________________________________________________________

x = 4

h(4) = $\frac{2}{5}$sin (-$\frac{4⋅7⋅π}{2}$) + 5

Vi kan avbryta den gemensamma faktorn 2 i divisionen (-$\frac{4⋅7⋅π}{2}$) och får:

h(4) = $\frac{2}{5}$ sin (-2⋅7π) +  5

h(4) = $\frac{2}{5}$ sin (-14π) +  5

Vi utnyttjar symmetrin hos de trigonometriska funktionerna för att föenkla uttrycket sin (-14π) till -sin (14π). Nu hittar vi vinkeln i intervallet [0, 2π>, samterminal med 14π och får att -sin(0). Sedan beräknar vi uttrycket med hjälp av den trigonometriska värdetabellen och får att -sin(0) = -0. Eftersom 0 inte har några tecken översätter vi detta till 0.

Vidare ersätter vi med 0 och får att:

h(4) = $\frac{2}{5}$ ⋅ 0 + 5

h(4) = 0 + 5

h(4) = 5

__________________________________________________________

x = 5

h(5) = $\frac{2}{5}$sin (-$\frac{5⋅7⋅π}{2}$) + 5

h(5) = $\frac{2}{5}$sin (-$\frac{35π}{2}$) + 5

sin (-$\frac{35π}{2}$) = 1 (se nedan)

Vi utnyttjar symmetrin hos de trigonometriska funktionerna för att föenkla uttrycket sin (-$\frac{35π}{2}$) till -sin ($\frac{35π}{2}$). Nu hittar vi vinkeln i intervallet [0, 2π>, samterminal med ($\frac{35π}{2}$) och får -sin($\frac{3π}{2}$). Sedan beräknar vi uttrycket med hjälp av den trigonometriska värdetabellen och får att -sin($\frac{35π}{2}$) = -(-1). Två minustecken = plustecken, därför är -(-1) = 1.

Vidare ersätter vi med 1 och får att:

h(5) = $\frac{2}{5}$ ⋅ 1 + 5

h(5) = $\frac{2}{5}$ + 5

h(5) = $\frac{2}{5}$ + $\frac{25}{5}$

h(5) = $\frac{27}{5}$

__________________________________________________________

c) 

Vi vet att h(x) representerar en sammanslagning av f(x) och g(x). Detta antyder att h(x) måste ha samma definitionsmängd som g(x) och samma målmängd som f(x). Således är definitionsmängden $ \mathbb{R}$ och målmängden [2,∞[. 

__________________________________________________________

d) 

Värdemängden för sin(v) är -1≤ sin(v) ≤1, eftersom sinus varierar mellan just -1 och 1. 

Vi ersätter v med sin (-$\frac{x⋅7⋅π}{2}$) och får att:

-1≤ sin((-$\frac{x⋅7⋅π}{2}$)) ≤1

Vidare antyder ovanstående att vi finner h:s extremvärden när (-$\frac{x⋅7⋅π}{2}$) = -1 och (-$\frac{x⋅7⋅π}{2}$) = 1.

I uppgift b) fick vi att sin sin (-$\frac{3⋅7⋅π}{2}$) = -1 då x antog värdet 3. Vi fick även att sin (-$\frac{5⋅7⋅π}{2}$) = 1 då x antog värdet. Vi räknade också ut att h(3) = $\frac{23}{5}$ och att = h(5) = $\frac{27}{5}$.

Med andra ord är värdemängden för sin(v) = [$\frac{23}{5}$, $\frac{27}{5}$]