definitionsmängd

Vad är definitionsmängden för $\ln(x + 1)$?

Vad är den för $\frac{1}{x}$?

Du kommer få f:s definitionsmängd genom att ta snittet av dessa två definitionsmängder.

En intressant knorr på detta är vad definitionsmängden skulle blivit för följande (snarlika) funktion:

$g(x) = \frac{1}{x} + \ln ((x+1)^2)$

definitionsmängden för ln(x+1) är väl alla x större än -1 och för 1/x alla värden för x utom 0, men varför har vi då med noll i svaret för definitionsmängden? hade vi bara haft ln(x+1) skulle väl definitionsmängden vara $\left(-1,\infty \right)$ 

Din funktion f(x) består inte bara av ett logaritmuttryck, utan även termen 1/x. Vad gäller för 1/x om x = 0?

I svaret så är inte 0 med i definitionsmängden. Utan det är ju det öppna intervallet (-1, 0), där 0:an inte ingår, uniont med det öppna intervallet $(0, \infty)$ där 0:an inte heller ingår, som är definitionsmängden.

Eftersom 0:an inte ingår i någon av intervallen så ingår inte heller 0:an i svaret.

okej då förstår jag definitionsmängden för denna funktion men när man ska avgöra hur många reella rötter ekvationerna f(x)=0 och f(x)=3 har förstår jag inte.

f(x)=0 ska enligt svaret sakna reella rötter och f(x)=3 ska ha två rötter, men hur kommer man fram till det?

Om vi börjar med att försöka komma fram till hur många reella lösningar f(x) = 0 har så kan du resonera för varje intervall.

Intervallet (-1, 0): Vad har 1/x för tecken här? Vad har ln(x + 1) för tecken? Kan då summan av dem vara noll?

Intervallet $(0, \infty)$: Samma frågor här egentligen.

i intervallet (-1,0) har väl 1/x negativt tecken och ln(x+1) positivt tecken, för intervallet $\left(0,\infty \right)$ har 1/x positivt tecken vilket även ln(1+x) har.

Vid lika tecken kan vi ju inte få summan noll, men kan den inte bli noll i intervallet (-1,0) 

På intervallet (-1, 0) så är ln(x + 1) negativ, tänk på att då är gäller det att 0 < x + 1 < 1, för dessa argument så är logaritmen negativ.

Så på båda intervallen har 1/x och ln(x + 1) samma tecken och därför kan det inte finnas något nollställe.

För att gå vidare med f(x) = 3 så kan vi konstatera att det inte kan finnas någon lösning i intervallet (-1, 0) eftersom där är den negativ.

För att analysera hur det ser ut i intervallet $(0, \infty)$ så kan du kolla vad som händer då x är nära 0, var den har sina extrempunkter och vad som händer då x går mot $\infty$. Om du gör en "snabb skiss" av kurvan utifrån detta så bör du se hur många rötter du får.