9 svar
583 visningar
K.Ivanovitj 399 – Fd. Medlem
Postad: 23 dec 2017 13:01

definitionsmängd

Hej

jag har en uppgift där jag ska räkna ut definitionsmängd och rötter.

Bestäm den maximala definitionsmängden till funktionen fx=1x+2lnx+1 samt hur många olika reella rötter som ekvationerna f(x)=0 respektive f(x)=3 har.

Jag räknade fram derivatan till 21+x-1x2

I svaret ser jag att definitionsmängden ska bli -1,00, men jag förstår inte hur man kommer fram till det. varför kan inte definitionsmängden vara mindre än -1?

Stokastisk 3597 – Fd. Medlem
Postad: 23 dec 2017 13:04

Vad är definitionsmängden för ln(x+1) \ln(x + 1) ?

Vad är den för 1x \frac{1}{x} ?

Du kommer få f:s definitionsmängd genom att ta snittet av dessa två definitionsmängder.

tomast80 4245
Postad: 23 dec 2017 13:10

En intressant knorr på detta är vad definitionsmängden skulle blivit för följande (snarlika) funktion:

g(x)=1x+ln((x+1)2) g(x) = \frac{1}{x} + \ln ((x+1)^2)

K.Ivanovitj 399 – Fd. Medlem
Postad: 23 dec 2017 13:46

definitionsmängden för ln(x+1) är väl alla x större än -1 och för 1/x alla värden för x utom 0, men varför har vi då med noll i svaret för definitionsmängden? hade vi bara haft ln(x+1) skulle väl definitionsmängden vara -1, 

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 23 dec 2017 14:36 Redigerad: 23 dec 2017 14:37

Din funktion f(x) består inte bara av ett logaritmuttryck, utan även termen 1/x. Vad gäller för 1/x om x = 0?

Stokastisk 3597 – Fd. Medlem
Postad: 23 dec 2017 14:37

I svaret så är inte 0 med i definitionsmängden. Utan det är ju det öppna intervallet (-1, 0), där 0:an inte ingår, uniont med det öppna intervallet (0,) (0, \infty) där 0:an inte heller ingår, som är definitionsmängden.

Eftersom 0:an inte ingår i någon av intervallen så ingår inte heller 0:an i svaret.

K.Ivanovitj 399 – Fd. Medlem
Postad: 23 dec 2017 16:24

okej då förstår jag definitionsmängden för denna funktion men när man ska avgöra hur många reella rötter ekvationerna f(x)=0 och f(x)=3 har förstår jag inte.

f(x)=0 ska enligt svaret sakna reella rötter och f(x)=3 ska ha två rötter, men hur kommer man fram till det?

Stokastisk 3597 – Fd. Medlem
Postad: 23 dec 2017 16:29

Om vi börjar med att försöka komma fram till hur många reella lösningar f(x) = 0 har så kan du resonera för varje intervall.

Intervallet (-1, 0): Vad har 1/x för tecken här? Vad har ln(x + 1) för tecken? Kan då summan av dem vara noll?

Intervallet (0,) (0, \infty) : Samma frågor här egentligen.

K.Ivanovitj 399 – Fd. Medlem
Postad: 23 dec 2017 17:26

i intervallet (-1,0) har väl 1/x negativt tecken och ln(x+1) positivt tecken, för intervallet 0, har 1/x positivt tecken vilket även ln(1+x) har.

Vid lika tecken kan vi ju inte få summan noll, men kan den inte bli noll i intervallet (-1,0) 

Stokastisk 3597 – Fd. Medlem
Postad: 23 dec 2017 17:39

På intervallet (-1, 0) så är ln(x + 1) negativ, tänk på att då är gäller det att 0 < x + 1 < 1, för dessa argument så är logaritmen negativ.

Så på båda intervallen har 1/x och ln(x + 1) samma tecken och därför kan det inte finnas något nollställe.


 

För att gå vidare med f(x) = 3 så kan vi konstatera att det inte kan finnas någon lösning i intervallet (-1, 0) eftersom där är den negativ.

För att analysera hur det ser ut i intervallet (0,) (0, \infty) så kan du kolla vad som händer då x är nära 0, var den har sina extrempunkter och vad som händer då x går mot \infty . Om du gör en "snabb skiss" av kurvan utifrån detta så bör du se hur många rötter du får.

Svara
Close