Definitionsmängd

Hej!

Jag har problem med en uppgift som har varit uppe här på forumet ett par gånger, men då med andra funktioner.

Följande information är given:

$f : ℚ \to ℝ$ enligt $f (x) = \cos (πx)$ , och $g : ℤ \to ℚ$ enligt $g (x) = - \frac{7 x}{6}$ .

Den sammansatta funktionen $h$ av $f$ och $g$ , vilken uppfyller $h (x) = f (g (x))$ för alla $x$ i dess definitionsmängd, ska studeras.

Jag har löst ut att: $h (x) = \cos (- \frac{7 x π}{6})$

Den uppgift som jag behöver hjälp med handlar om att bestämma värdemängden för funktionen $h$ . Ledtråd som ges i uppgiften är att reflektera över definitionsmängden för $h$ ( $ℤ$ - heltalen) och periodiciteten hos den trigonometriska funktionen.

Jag har börjat med att konstatera att värdemängden kommer att ligga inom intervallet [-1, 1] på grund av cosinusfunktionens periodicitet. Genom att helt enkelt testa mig fram, genom insättning av olika heltal i funktionen, så har jag kommit fram till att värdemängden är $V_{h} = \{0, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{\sqrt{3}}{2}, \pm 1\}$ .

Jag har även fått fram att $h (x) = h (x + 12)$ .

Mina två frågor är:

Hur många värden av $h (x)$ behöver jag räkna fram för att garantera att jag inte missat något tal i värdemängden? Och hur vet jag det?
Hur kan jag visa att $h (x) = h (x + 12)$ ?

Tack!

xirtaeb skrev:
Hur kan jag visa att $h (x) = h (x + 12)$ ?

Sätt in (x+12) där det står x i h(x) och förenkla. I och med detta har du även svar på din första fråga.

Hej!

Det gäller att $h : \mathbb{Z} \to \mathbb{R}$ , så målmängden till $h$ är de reella talen och värdemängden till $h$ är en delmängd till de reella talen; frågan är om den är en äkta delmängd.

Man ser direkt att värdemängden är en delmängd av intervallet $[-1,1]$ , som du också noterat, så värdemängden är helt klart en äkta delmängd av $\mathbb{R}$ . Frågan är om värdemängden är en äkta delmängd av $[-1,1]$ . Du har noterat att $h(x) = \cos(\pi g(x))$ och det gäller att $g(x) = -x - \frac{x}{6}$ varför

$h(x) = \cos(-(\pi x + \frac{\pi x}{6})) = \cos(\pi x + \frac{\pi x}{6}) \ , \quad x \in\mathbb{Z}.$

Additionsformel för cosinusfunktionen ger

$h(x) = \cos \pi x \cos \frac{\pi x}{6} - \sin \pi x \sin \frac{\pi x}{6}\ , \quad x\in \mathbb{Z}.$

Du ser att $\cos \pi x = (-1)^x$ och $\sin \pi x = 0$ varför

$h(x) = (-1)^{x}\cos \frac{\pi x}{6}\ , \quad x\in\mathbb{Z}.$

Cosinusfunktionen $\cos t$ är periodisk med perioden $2\pi$ varför det räcker att undersöka de heltal $x$ som uppfyller olikheterna $0 \leq \frac{\pi x}{6} \leq 2\pi \iff 0 \leq x \leq 12.$

Då blir det alltså $h (x + 12) = \cos (- \frac{7 π (x + 12)}{6}) = \cos (- \frac{7 πx}{6} - 14 π)$ .

Stämmer det att man kan härleda det vidare såhär?:

$h (x + 12) = \cos (- \frac{7 π (x + 12)}{6}) = \cos (- \frac{7 πx}{6} - 14 π) = \cos (- \frac{7 πx}{6} - 7 \cdot 2 π) = \cos (- \frac{7 πx}{6}) = h (x)$

Jag förstår heller ändå inte riktigt svaret på min första fråga.

Svara

Visa senaste svar