Definitionsfråga om strängt växande funktioner

I definitionen skriver man att funktionen är strängt växande om derivatan är strikt positiv på det öppna intervallet $(a,b)$. Derivatan är positiv på intervallet $(-5,-2)$. Enligt definitionen är då funktionen strängt växande på det stängda intervallet $[-5,-2]$

Nej det är inte definitionen för en strängt växande funktion. Definition är:

En funktion är strängt växande på ett intervall $[a,b]$ om det för för varje $x_1<>$ på intervallet gäller att $f(x_1) <>$.

Får detta följer att om derivatan är positiv på hela intervallet så är funktionen automatiskt strängt växande, men det är INTE definitionen. Om du tittar på definitionen som jag skrev ovan så ser du att det stämmer på det stängda intervallet.

Det finns funktioner som är strängt växande där derivatan är noll i enstaka punkter (t ex $f(x) = x^3$) och funktioner som till och med saknar derivata i vissa punkter (t ex styckvis definierade funktioner).

emmynoether skrev:

Nej det är inte definitionen för en strängt växande funktion. Definition är:

En funktion är strängt växande på ett intervall $[a,b]$ om det för för varje $x_1<>$ på intervallet gäller att $f(x_1) <>$.

 

Får detta följer att om derivatan är positiv på hela intervallet så är funktionen automatiskt strängt växande, men det är INTE definitionen. Om du tittar på definitionen som jag skrev ovan så ser du att det stämmer på det stängda intervallet.

Det finns funktioner som är strängt växande där derivatan är noll i enstaka punkter (t ex $f(x) = x^3$) och funktioner som till och med saknar derivata i vissa punkter (t ex styckvis definierade funktioner).

 Det beror på vem du frågar. Definitionen du nämner är vanligare (och enligt mig mer logisk) men det finns faktiskt andra definitioner. Att komma dragandes med en alternativ metod på tentan lär knappast ge extrapoäng även om den kanske är vanligare.

AlvinB skrev:

 Det beror på vem du frågar. Definitionen du nämner är vanligare (och enligt mig mer logisk) men det finns faktiskt andra definitioner. Att komma dragandes med en alternativ metod på tentan lär knappast ge extrapoäng även om den kanske är vanligare.

 Hmm. Jag har aldrig stött på någon annan definition än den jag nämnde. När jag tog kursen själv på KTH så var min lärare tydlig med att det du skrev var fel, man fick poängavdrag om man skrev ner det istället. Jag skulle nog hävda att den definitionen jag gav är den som är allmänt accepterad.

emmynoether skrev:

AlvinB skrev:

 Det beror på vem du frågar. Definitionen du nämner är vanligare (och enligt mig mer logisk) men det finns faktiskt andra definitioner. Att komma dragandes med en alternativ metod på tentan lär knappast ge extrapoäng även om den kanske är vanligare.

 Hmm. Jag har aldrig stött på någon annan definition än den jag nämnde. När jag tog kursen själv på KTH så var min lärare tydlig med att det du skrev var fel, man fick poängavdrag om man skrev ner det istället. Jag skulle nog hävda att den definitionen jag gav är den som är allmänt accepterad.

 Jag hajade också till när jag såg definitionen i originalinlägget, men just rörande avtagande/växande funktioner vet jag att definitionerna ibland går isär.

I detta fall får vi nog helt enkelt följa det som står i facit i originalinlägget, nämligen att derivatan skall vara strikt positiv på det öppna intervallet.

Om det ska föreställa en definition vill jag att det står "om och endast om". Det står inte vad som gäller om derivatan är 0.

Facit har inte definierat strängt växande funktion utifrån en derivata. Den definition man använder för en strängt växande funktion är förmodligen det de flesta av oss rabblat många gånger

En funktion sägs vara strängt växande om $f(x_1)<>$ för alla $x_1$ och $x_2$ i $D_f$ med $x_1<>$

Med hjälp av definitionen kan vi bevisa att; Om f är deriverbar på ett intervall I innebär $f'(x)>0$ för alla $x$ i I att f är strängt växande på I.

Intervallet får vara öppet, slutet eller halvöppet (eller tom obegränsat). Eftersom man bevisar satsen med hjälp av medelvärdessatsen ($f(x_2)-f(x_1)=(x_2-x_1)f'(c)$ för något c i intervallet) behövs ingen förutsättning om $f'(x_0)$ då $x_0$  är en randpunkt. Detta eftersom $c\neq x_0$. Det räcker att f är kontinuerlig i punkten $x_0$.

Det betyder att:

Om f är kontinuerlig på $[a,b]$ och $f'(x)>0$ på det öppna intervallet $]a,b[$ så är f(x) strängt växande på det slutna intervallet $[a,b]$.

Hej!

För att man ska få lov att blanda in derivata i uppgiften måste man först reda ut några saker:

1. Bestäm definitionsmängden till funktionen $f$.
2. Visa att det slutna intervallet $[-5,-2]$ ligger i definitionsmängden.
3. Visa att funktionen $f$ är deriverbar i alla punkter i det inre av definitionsmängden.
4. Visa att derivatan $f'$ är strikt positiv på det öppna intervallet $(-5,-2).$