Definitions- och målmängd

Om $g: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Q}$ och $f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{R}$, är du då säker på att $h: \mathbb{R} \rightarrow [-\frac{5}{2},\frac{1}{2}]$ som du skrivit?

I början skriver man ofta inte ut definitions- och målmängd för funktioner (och därför antas att definitionsmängden är alla $x$ som funktionsrelationen ger ett reellt värde för). Nu har man dock gjort det hela lite mer ordentligt och specificerat både definitionsmängd och målmängd (vilket man egentligen alltid bör göra).

Jag förstår tyvärr inte hur jag ska definiera definitionsmängd och målmängd när det är en sammansatt funktion

Vilken är definitionsmängden för g(x)? Vilken är värdemängden för g(x)? Det är endast de tal som ingår i värdemängden för g(x) som du kan stoppa in i f(a), där a = g(x).

Funktionen f(x) är definierad för alla rationella tal, men alla rationella tal ingår inte i värdemängden för g(x).

Om definitionsmängden för g(x) hade varit R skulle värdemängden för g(x) ha varit kontinuerlig, men eftersom man bara kan stoppa in heltal i g(x) kommer dess värdemängd att bestå av (ett oändligt antal) diskreta punkter. Detta gör att man endast kan få fram ett fåtal (diskreta) värden för h(x) = f(g(x)).

Du har tydligen redan beräknat h(3), h(4) och h(5). Beräkna h(6), h(7), h(8) och så vidare tills du ser ett mönster! Kolla gärna för några negativa värden också.

d) Värdemängden är {h(x)| g ∈ Z} = $-\frac{3}{2}\cos \left(\mathrm{\pi }\frac{2\mathrm{x}}{3}\right)-1$ | $\frac{2x}{3}$ ∈ N}, definitionsmängden (alla heltal), vilket är bland annat heltalen 0-7 insätts i funktionen:

h(0) = -2,5

h(1) = -0,25

h(2) = -0,25

h(3) = -2,5

h(4) -0,25

h(5) = - 0,25

h(6) = - 2,5

h(7) = -0,25

 
Under en period som är 120 grader går cosinusfunktionen mellan y-värdena -2,5 -0,25, -0,25 och -2,5. Värdemängden för funktionen h(x) är -0,25 och -2,5.

Bevisa ovanstående mönster rent matematiskt. Tips: en funktion u har perioden p om u(x+p)=u(x) för alla x i definitionsmängden.

Hur ska jag göra? Jag förstår inte hur jag ska bevisa mönstret.

Eftersom man inte kanstoppa in vilka värden som helst i g(x) och därför inte heller i h(x) = f(g(x)) så kan man inte få ut mer än två olika värden från h(x).

Du har uttrycket $h(x)=f(g(x))=-\frac{3}{2}\cos(\frac{2\pi x}{3})$, där x måste vara ett heltal. Sätt in (x+3) i stället för x i uttrycket, förenkla och jämför med startuttrycket. Om du lyckas visa att h(x+3)=h(x) för alla x, så är du klar.

Menar du att jag ska sätta in x+3 i funktionen h(x) så att det blir som följande: $h(x)=f(g(x))=-\frac{3}{2}\cos(\frac{2\pi (x+3)}{3})$ och därefter förenkla och jämföra med startuttrycket?

Ja, det är det jag har skrivit, och som stod som tips när du fick uppgiften:

Under en period som är 120 grader går cosinusfunktionen mellan y-värdena -2,5 -0,25, -0,25 och -2,5. Värdemängden för funktionen h(x) är -0,25 och -2,5.

Bevisa ovanstående mönster rent matematiskt. Tips: en funktion u har perioden p om u(x+p)=u(x) för alla x i definitionsmängden.